Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$ als Gleichung.

$y = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2 = x$ um.

$\frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2 = x$

Schritt 3.2

Vereinfache $\frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2$ .

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{y + 1}$ .

$\frac{e^{y + 1}}{2} - 2 = x$

Schritt 3.2.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{y + 1}}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2} = x$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{y + 1}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} = x$

Schritt 3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{y + 1} - 2 \cdot 2}{2} = x$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{e^{y + 1} - 4}{2} = x$

Schritt 3.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{e^{y + 1} - 4}{2} = 2 x$

Schritt 3.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{e^{y + 1} - 4}{2} = 2 x$

Schritt 3.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{y + 1} - 4 = 2 x$

Schritt 3.5

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$e^{y + 1} = 2 x + 4$

Schritt 3.6

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{y + 1}) = \ln (2 x + 4)$

Schritt 3.7

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.7.1

Zerlege $\ln (e^{y + 1})$ durch Herausziehen von $y + 1$ aus dem Logarithmus.

$(y + 1) \ln (e) = \ln (2 x + 4)$

Schritt 3.7.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(y + 1) \cdot 1 = \ln (2 x + 4)$

Schritt 3.7.3

Mutltipliziere $y + 1$ mit $1$ .

$y + 1 = \ln (2 x + 4)$

Schritt 3.8

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \ln (2 x + 4) - 1$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) + 4) - 1$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1}}{2} - 2) + 4) - 1$

Schritt 5.2.3.1.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1}}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + 4) - 1$

Schritt 5.2.3.1.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + 4) - 1$

Schritt 5.2.3.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1} - 2 \cdot 2}{2}) + 4) - 1$

Schritt 5.2.3.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1} - 4}{2}) + 4) - 1$

Schritt 5.2.3.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1} - 4}{2}) + 4) - 1$

Schritt 5.2.3.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (e^{x + 1} - 4 + 4) - 1$

Schritt 5.2.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $e^{x + 1} - 4 + 4$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Addiere $- 4$ und $4$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (e^{x + 1} + 0) - 1$

Schritt 5.2.3.2.2

Addiere $e^{x + 1}$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (e^{x + 1}) - 1$

Schritt 5.2.3.3

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x + 1$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = (x + 1) \ln (e) - 1$

Schritt 5.2.3.4

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = (x + 1) \cdot 1 - 1$

Schritt 5.2.3.5

Mutltipliziere $x + 1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = x + 1 - 1$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 1 - 1$ .

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Schritt 5.2.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\ln (2 x + 4) - 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot e^{(\ln (2 x + 4) - 1) + 1} - 2$

Schritt 5.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{1}{2} \cdot e^{(\ln (2 x + 4) - 1) + 1} - 2$ .

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Schritt 5.3.3.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot e^{\ln (2 x + 4) + 0} - 2$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $\ln (2 x + 4)$ und $0$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot e^{\ln (2 x + 4)} - 2$

Schritt 5.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.4.1

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x + 4) - 2$

Schritt 5.3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

Schritt 5.3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x)) + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

Schritt 5.3.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

Schritt 5.3.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

Schritt 5.3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + \frac{1}{2} \cdot (2 (2)) - 2$

Schritt 5.3.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) - 2$

Schritt 5.3.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + 2 - 2$

Schritt 5.3.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 2 - 2$ .

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Schritt 5.3.5.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + 0$

Schritt 5.3.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$