Analysis Beispiele

$f (x) = \cot (- x) + \sec (π x)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\cot (- x) + \sec (π x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\cot (- x)] + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (- x)] + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\cot (- x)]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cot (x)$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cot (u_{1})] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\cot (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \csc^{2} (u_{1})$ .

$- \csc^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- x$ .

$- \csc^{2} (- x) \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Schritt 2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc^{2} (- x) (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \csc^{2} (- x) (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \csc^{2} (- x) \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \csc^{2} (- x) + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $\csc^{2} (- x)$ mit $1$ .

$\csc^{2} (- x) + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [\sec (π x)]$ .

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = π x$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $π x$ .

$\csc^{2} (- x) + \frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\sec (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\csc^{2} (- x) + \sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $π x$ .

$\csc^{2} (- x) + \sec (π x) \tan (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

Schritt 3.2

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π x$ nach $x$ gleich $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$\csc^{2} (- x) + \sec (π x) \tan (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\csc^{2} (- x) + \sec (π x) \tan (π x) (π \cdot 1)$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$\csc^{2} (- x) + \sec (π x) \tan (π x) π$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Stelle die Terme um.

$π \sec (π x) \tan (π x) + \csc^{2} (- x)$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Da $\csc (- x)$ eine ungerade Funktion ist, schreibe $\csc (- x)$ als $- \csc (x)$ .

$π \sec (π x) \tan (π x) + {(- \csc (x))}^{2}$

Schritt 4.2.2

Wende die Produktregel auf $- \csc (x)$ an.

$π \sec (π x) \tan (π x) + {(- 1)}^{2} \csc^{2} (x)$

Schritt 4.2.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$π \sec (π x) \tan (π x) + 1 \csc^{2} (x)$

Schritt 4.2.4

Mutltipliziere $\csc^{2} (x)$ mit $1$ .

$π \sec (π x) \tan (π x) + \csc^{2} (x)$