Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (\frac{x^{5} - 12}{x})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \frac{x^{5} - 12}{x}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x^{5} - 12}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x^{5} - 12}{x}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{5} - 12}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

Schritt 2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{x^{5} - 12}{x}$ zu dividieren.

$1 \frac{x}{x^{5} - 12} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{x}{x^{5} - 12}$ mit $1$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{5} - 12$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{5} - 12] - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{5} - 12$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 12]) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 12]) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.3

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x (5 x^{4} + 0) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.4

Addiere $5 x^{4}$ und $0$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x (5 x^{4}) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 (x^{1} x^{4}) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 x^{1 + 4} - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 8

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12)}{x^{2}}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $\frac{x}{x^{5} - 12}$ mit $\frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12)}{x^{2}}$ .

$\frac{x (5 x^{5} - (x^{5} - 12))}{(x^{5} - 12) x^{2}}$

Schritt 11

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.1

Faktorisiere $x$ aus $(x^{5} - 12) x^{2}$ heraus.

$\frac{x (5 x^{5} - (x^{5} - 12))}{x ((x^{5} - 12) x)}$

Schritt 11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (5 x^{5} - (x^{5} - 12))}{x ((x^{5} - 12) x)}$

Schritt 11.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12)}{(x^{5} - 12) x}$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x^{5} - x^{5} - - 12}{(x^{5} - 12) x}$

Schritt 12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x^{5} - x^{5} - - 12}{x^{5} x - 12 x}$

Schritt 12.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 12$ .

$\frac{5 x^{5} - x^{5} + 12}{x^{5} x - 12 x}$

Schritt 12.3.2

Subtrahiere $x^{5}$ von $5 x^{5}$ .

$\frac{4 x^{5} + 12}{x^{5} x - 12 x}$

Schritt 12.4

Multipliziere $x^{5}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.4.1

Mutltipliziere $x^{5}$ mit $x$ .

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Schritt 12.4.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 12}{x^{5} x^{1} - 12 x}$

Schritt 12.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 x^{5} + 12}{x^{5 + 1} - 12 x}$

Schritt 12.4.2

Addiere $5$ und $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 12}{x^{6} - 12 x}$

Schritt 12.5

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{5} + 12$ heraus.

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Schritt 12.5.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{5}$ heraus.

$\frac{4 (x^{5}) + 12}{x^{6} - 12 x}$

Schritt 12.5.2

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{4 x^{5} + 4 \cdot 3}{x^{6} - 12 x}$

Schritt 12.5.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{5} + 4 \cdot 3$ heraus.

$\frac{4 (x^{5} + 3)}{x^{6} - 12 x}$

Schritt 12.6

Faktorisiere $x$ aus $x^{6} - 12 x$ heraus.

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Schritt 12.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{6}$ heraus.

$\frac{4 (x^{5} + 3)}{x \cdot x^{5} - 12 x}$

Schritt 12.6.2

Faktorisiere $x$ aus $- 12 x$ heraus.

$\frac{4 (x^{5} + 3)}{x \cdot x^{5} + x \cdot - 12}$

Schritt 12.6.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{5} + x \cdot - 12$ heraus.

$\frac{4 (x^{5} + 3)}{x (x^{5} - 12)}$