Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} - x^{2}$

Schritt 1

Multipliziere, um den Zähler zu rationalisieren.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} - x^{2}) (\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2})}{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Multipliziere den Zähler unter Verwendung der FOIL-Methode aus.

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}}}^{2} + \sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} x^{2} + \sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} (- x^{2}) - x^{4}}{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $x^{4}$ von $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2} + 0}{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

Schritt 2.2.2

Addiere $- 5 x^{2}$ und $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4} - 5 x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.1.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{\sqrt{x^{2} x^{2} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

Schritt 3.1.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 5 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{\sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 5} + x^{2}}$

Schritt 3.1.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 5$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{\sqrt{x^{2} (x^{2} - 5)} + x^{2}}$

Schritt 3.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{x \sqrt{x^{2} - 5} + x^{2}}$

Schritt 3.2

Ziehe den Term $- 5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{x \sqrt{x^{2} - 5} + x^{2}}$

Schritt 4

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{2}$ ist.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{x^{2} - 5}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{x^{2} - 5}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x \sqrt{x^{2} - 5}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x} + 1}$

Schritt 5.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$- 5 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x} + 1}$

Schritt 5.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x} + 1}$

Schritt 5.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x} + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 6

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $\sqrt{x^{2}} = x$ ist.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}}{\frac{x}{x}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 7.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 7.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{- 5}{x^{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 7.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 - \frac{5}{x^{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 7.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$- 5 \frac{1}{\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 - \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 7.4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 7.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 7.6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 7.7

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 8

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{1} + 1}$

Schritt 9.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.3.1

Dividiere $\sqrt{1 - 5 \cdot 0}$ durch $1$ .

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1 - 5 \cdot 0} + 1}$

Schritt 9.3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1}$

Schritt 9.3.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1} + 1}$

Schritt 9.3.2.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$- 5 \frac{1}{1 + 1}$

Schritt 9.3.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$- 5 (\frac{1}{2})$

Schritt 9.3.3

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 5}{2}$

Schritt 9.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5}{2}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{5}{2}$

Dezimalform:

$- 2.5$