Analysis Beispiele

$f (x) = y^{3} - 3 y^{2} - x^{2} - 9 y + 10 x - 60$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{3} - 3 y^{2} - x^{2} - 9 y + 10 x - 60$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 9 y] + \frac{d}{d y} [10 x] + \frac{d}{d y} [- 60]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 9 y] + \frac{d}{d y} [10 x] + \frac{d}{d y} [- 60]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 y^{2} + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 9 y] + \frac{d}{d y} [10 x] + \frac{d}{d y} [- 60]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$ .

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Schritt 2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 3 y^{2}$ nach $y$ gleich $- 3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$3 y^{2} - 3 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 9 y] + \frac{d}{d y} [10 x] + \frac{d}{d y} [- 60]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 y^{2} - 3 (2 y) + \frac{d}{d y} [- x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 9 y] + \frac{d}{d y} [10 x] + \frac{d}{d y} [- 60]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$3 y^{2} - 6 y + \frac{d}{d y} [- x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 9 y] + \frac{d}{d y} [10 x] + \frac{d}{d y} [- 60]$

Schritt 3

Da $- x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$3 y^{2} - 6 y + 0 + \frac{d}{d y} [- 9 y] + \frac{d}{d y} [10 x] + \frac{d}{d y} [- 60]$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d y} [- 9 y]$ .

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Schritt 4.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 9 y$ nach $y$ gleich $- 9 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 y^{2} - 6 y + 0 - 9 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [10 x] + \frac{d}{d y} [- 60]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 y^{2} - 6 y + 0 - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [10 x] + \frac{d}{d y} [- 60]$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$3 y^{2} - 6 y + 0 - 9 + \frac{d}{d y} [10 x] + \frac{d}{d y} [- 60]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.1

Da $10 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $10 x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$3 y^{2} - 6 y + 0 - 9 + 0 + \frac{d}{d y} [- 60]$

Schritt 5.2

Da $- 60$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 60$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$3 y^{2} - 6 y + 0 - 9 + 0 + 0$

Schritt 6

Vereine die Terme

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Schritt 6.1

Addiere $3 y^{2} - 6 y$ und $0$ .

$3 y^{2} - 6 y - 9 + 0 + 0$

Schritt 6.2

Addiere $3 y^{2} - 6 y - 9$ und $0$ .

$3 y^{2} - 6 y - 9 + 0$

Schritt 6.3

Addiere $3 y^{2} - 6 y - 9$ und $0$ .

$3 y^{2} - 6 y - 9$