Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1 + \tan (x)}{\csc (x) + 2}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{4}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 + \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + 2}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{4}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 + lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + 2}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{4}$ annähert.

$\frac{1 + lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + 2}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{1 + \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + 2}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{4}$ annähert.

$\frac{1 + \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} 2}$

Schritt 6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosekans stetig ist.

$\frac{1 + \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} 2}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{4}$ annähert.

$\frac{1 + \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + 2}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$\frac{1 + \tan (\frac{π}{4})}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + 2}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$\frac{1 + \tan (\frac{π}{4})}{\csc (\frac{π}{4}) + 2}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{1 + 1}{\csc (\frac{π}{4}) + 2}$

Schritt 9.1.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2}{\csc (\frac{π}{4}) + 2}$

Schritt 9.2

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{4})$ ist $\sqrt{2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2} + 2}$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2} + 2}$ mit $\frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} - 2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2} + 2} \cdot \frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} - 2}$

Schritt 9.4

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2} + 2}$ mit $\frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} - 2}$ .

$\frac{2 (\sqrt{2} - 2)}{(\sqrt{2} + 2) (\sqrt{2} - 2)}$

Schritt 9.5

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{2 (\sqrt{2} - 2)}{{\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{2} \cdot - 2 + 2 \sqrt{2} - 4}$

Schritt 9.6

Vereinfache.

$\frac{2 (\sqrt{2} - 2)}{- 2}$

Schritt 9.7

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\sqrt{2} - 2}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (\sqrt{2} - 2)$

Schritt 9.8

Schreibe $- 1 \cdot (\sqrt{2} - 2)$ als $- (\sqrt{2} - 2)$ um.

$- (\sqrt{2} - 2)$

Schritt 9.9

Wende das Distributivgesetz an.

$- \sqrt{2} - - 2$

Schritt 9.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$- \sqrt{2} + 2$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \sqrt{2} + 2$

Dezimalform:

$0.58578643 \dots$