Analysis Beispiele

$f (x) = x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}}] + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - \frac{x^{2}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x^{2}}{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Kombiniere $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.4

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.4.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} x + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.4.3

Kombiniere $\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2}$ und $x$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}}) x}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2 (1)} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2 \cdot 1} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{1} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.2.2.4

Dividiere $- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ durch $1$ .

$- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1$

Schritt 9

Mutltipliziere $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ mit $1$ .

$- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}}$