Analysis Beispiele

$f (x) = x e^{3 x} - e^{x^{2}}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x e^{3 x} - e^{x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{3 x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $3 x$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 x$ .

$x (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$

Schritt 2.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$x (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$

Schritt 2.7

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{3 x}$ .

$x (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $e^{3 x}$ mit $1$ .

$x (3 e^{3 x}) + e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{x^{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ .

$x (3 e^{3 x}) + e^{3 x} - \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{2}$ .

$x (3 e^{3 x}) + e^{3 x} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x (3 e^{3 x}) + e^{3 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{2}$ .

$x (3 e^{3 x}) + e^{3 x} - (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x (3 e^{3 x}) + e^{3 x} - (e^{x^{2}} (2 x))$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x (3 e^{3 x}) + e^{3 x} - 2 e^{x^{2}} x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Stelle die Terme um.

$3 e^{3 x} x - 2 e^{x^{2}} x + e^{3 x}$

Schritt 4.2

Stelle die Faktoren in $3 e^{3 x} x - 2 e^{x^{2}} x + e^{3 x}$ um.

$3 x e^{3 x} - 2 x e^{x^{2}} + e^{3 x}$