Analysis Beispiele

$x^{4} - 2 x^{2}$

Schritt 1

Schreibe $x^{4} - 2 x^{2}$ als Funktion.

$f (x) = x^{4} - 2 x^{2}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 2 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} - 2 (2 x)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$4 x^{3} - 4 x$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} - 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \cdot 1$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$4 x^{3} - 4 x = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Differenziere.

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Schritt 5.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 2 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Schritt 5.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Schritt 5.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Schritt 5.1.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} - 2 (2 x)$

Schritt 5.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 x^{3} - 4 x$ .

$4 x^{3} - 4 x$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x^{3} - 4 x = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$4 x^{3} - 4 x = 0$

Schritt 6.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3} - 4 x$ heraus.

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Schritt 6.2.1.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$4 x (x^{2}) - 4 x = 0$

Schritt 6.2.1.2

Faktorisiere $4 x$ aus $- 4 x$ heraus.

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 1) = 0$

Schritt 6.2.1.3

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x^{2}) + 4 x (- 1)$ heraus.

$4 x (x^{2} - 1) = 0$

Schritt 6.2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$4 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere.

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Schritt 6.2.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$4 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 6.2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 6.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 6.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.5

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 6.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 6.6

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.6.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 6.6.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 6.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 x (x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 1, 1$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0, - 1, 1$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$12 {(0)}^{2} - 4$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$12 \cdot 0 - 4$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $0$ .

$0 - 4$

Schritt 10.2

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$- 4$

Schritt 11

$x = 0$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = {(0)}^{4} - 2 {(0)}^{2}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - 2 {(0)}^{2}$

Schritt 12.2.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0$

Schritt 12.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Schritt 12.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 12.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$12 {(- 1)}^{2} - 4$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$12 \cdot 1 - 4$

Schritt 14.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$12 - 4$

Schritt 14.2

Subtrahiere $4$ von $12$ .

$8$

Schritt 15

$x = - 1$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 1$ ist ein lokales Minimum

Schritt 16

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 1$ .

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Schritt 16.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} - 2 {(- 1)}^{2}$

Schritt 16.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 16.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- 1) = 1 - 2 {(- 1)}^{2}$

Schritt 16.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 1) = 1 - 2 \cdot 1$

Schritt 16.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f (- 1) = 1 - 2$

Schritt 16.2.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f (- 1) = - 1$

Schritt 16.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$y = - 1$

Schritt 17

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$12 {(1)}^{2} - 4$

Schritt 18

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 18.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 18.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$12 \cdot 1 - 4$

Schritt 18.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$12 - 4$

Schritt 18.2

Subtrahiere $4$ von $12$ .

$8$

Schritt 19

$x = 1$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 1$ ist ein lokales Minimum

Schritt 20

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 1$ .

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Schritt 20.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = {(1)}^{4} - 2 {(1)}^{2}$

Schritt 20.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 20.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 20.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 1 - 2 {(1)}^{2}$

Schritt 20.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 1 - 2 \cdot 1$

Schritt 20.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f (1) = 1 - 2$

Schritt 20.2.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f (1) = - 1$

Schritt 20.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$y = - 1$

Schritt 21

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x^{4} - 2 x^{2}$ .

$(0, 0)$ ist ein lokales Maximum

$(- 1, - 1)$ ist ein lokales Minimum

$(1, - 1)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 22