Analysis Beispiele

$f (x) = x^{10} e^{x} - 7$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{10} e^{x} - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{10} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{10} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{10} e^{x}]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{10}$ und $g (x) = e^{x}$ .

$x^{10} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{10}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x^{10} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{10}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 10$ .

$x^{10} e^{x} + e^{x} (10 x^{9}) + \frac{d}{d x} [- 7]$

Schritt 3

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{10} e^{x} + e^{x} (10 x^{9}) + 0$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Addiere $x^{10} e^{x} + e^{x} (10 x^{9})$ und $0$ .

$x^{10} e^{x} + e^{x} (10 x^{9})$

Schritt 4.2

Stelle die Terme um.

$e^{x} x^{10} + 10 e^{x} x^{9}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren in $e^{x} x^{10} + 10 e^{x} x^{9}$ um.

$x^{10} e^{x} + 10 x^{9} e^{x}$