Analysis Beispiele

$f (x) = x^{\frac{5}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{\frac{5}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{3}$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Schritt 3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Schritt 3.8

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 3.9

Bringe $x^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$