Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x}{{(6 x - 5)}^{9}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(6 x - 5)}^{9}$ .

$\frac{{(6 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{9}]}{{({(6 x - 5)}^{9})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(6 x - 5)}^{9})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(6 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{9}]}{{(6 x - 5)}^{9 \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$\frac{{(6 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{9}]}{{(6 x - 5)}^{18}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{(6 x - 5)}^{9} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{9}]}{{(6 x - 5)}^{18}}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere ${(6 x - 5)}^{9}$ mit $1$ .

$\frac{{(6 x - 5)}^{9} - x \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{9}]}{{(6 x - 5)}^{18}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{9}$ und $g (x) = 6 x - 5$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $6 x - 5$ .

$\frac{{(6 x - 5)}^{9} - x (\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d x} [6 x - 5])}{{(6 x - 5)}^{18}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 9$ .

$\frac{{(6 x - 5)}^{9} - x (9 u^{8} \frac{d}{d x} [6 x - 5])}{{(6 x - 5)}^{18}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $6 x - 5$ .

$\frac{{(6 x - 5)}^{9} - x (9 {(6 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [6 x - 5])}{{(6 x - 5)}^{18}}$

Schritt 4

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\frac{{(6 x - 5)}^{9} - 9 x ({(6 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [6 x - 5])}{{(6 x - 5)}^{18}}$

Schritt 4.2

Faktorisiere ${(6 x - 5)}^{8}$ aus ${(6 x - 5)}^{9} - 9 x ({(6 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [6 x - 5])$ heraus.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere ${(6 x - 5)}^{8}$ aus ${(6 x - 5)}^{9}$ heraus.

$\frac{{(6 x - 5)}^{8} (6 x - 5) - 9 x ({(6 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [6 x - 5])}{{(6 x - 5)}^{18}}$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere ${(6 x - 5)}^{8}$ aus $- 9 x ({(6 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [6 x - 5])$ heraus.

$\frac{{(6 x - 5)}^{8} (6 x - 5) + {(6 x - 5)}^{8} (- 9 x (\frac{d}{d x} [6 x - 5]))}{{(6 x - 5)}^{18}}$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere ${(6 x - 5)}^{8}$ aus ${(6 x - 5)}^{8} (6 x - 5) + {(6 x - 5)}^{8} (- 9 x (\frac{d}{d x} [6 x - 5]))$ heraus.

$\frac{{(6 x - 5)}^{8} (6 x - 5 - 9 x (\frac{d}{d x} [6 x - 5]))}{{(6 x - 5)}^{18}}$

Schritt 5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1

Faktorisiere ${(6 x - 5)}^{8}$ aus ${(6 x - 5)}^{18}$ heraus.

$\frac{{(6 x - 5)}^{8} (6 x - 5 - 9 x (\frac{d}{d x} [6 x - 5]))}{{(6 x - 5)}^{8} {(6 x - 5)}^{10}}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(6 x - 5)}^{8} (6 x - 5 - 9 x (\frac{d}{d x} [6 x - 5]))}{{(6 x - 5)}^{8} {(6 x - 5)}^{10}}$

Schritt 5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 x - 5 - 9 x (\frac{d}{d x} [6 x - 5])}{{(6 x - 5)}^{10}}$

Schritt 6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{6 x - 5 - 9 x (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(6 x - 5)}^{10}}$

Schritt 7

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{6 x - 5 - 9 x (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(6 x - 5)}^{10}}$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{6 x - 5 - 9 x (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(6 x - 5)}^{10}}$

Schritt 9

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{6 x - 5 - 9 x (6 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(6 x - 5)}^{10}}$

Schritt 10

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{6 x - 5 - 9 x (6 + 0)}{{(6 x - 5)}^{10}}$

Schritt 11

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 11.1

Addiere $6$ und $0$ .

$\frac{6 x - 5 - 9 x \cdot 6}{{(6 x - 5)}^{10}}$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 9$ .

$\frac{6 x - 5 - 54 x}{{(6 x - 5)}^{10}}$

Schritt 11.3

Subtrahiere $54 x$ von $6 x$ .

$\frac{- 48 x - 5}{{(6 x - 5)}^{10}}$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 48 x$ heraus.

$\frac{- (48 x) - 5}{{(6 x - 5)}^{10}}$

Schritt 12.2

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$\frac{- (48 x) - 1 (5)}{{(6 x - 5)}^{10}}$

Schritt 12.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (48 x) - 1 (5)$ heraus.

$\frac{- (48 x + 5)}{{(6 x - 5)}^{10}}$

Schritt 12.4

Schreibe $- (48 x + 5)$ als $- 1 (48 x + 5)$ um.

$\frac{- 1 (48 x + 5)}{{(6 x - 5)}^{10}}$

Schritt 12.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{48 x + 5}{{(6 x - 5)}^{10}}$