Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{x - y}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - y}$ als ${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - y)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - y)}^{1}}$

Schritt 4

Vereinfache.

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]}{x - y}$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 5.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]}{x - y}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere ${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]}{x - y}$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x - y$ .

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Schritt 6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - y$ .

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - y])}{x - y}$

Schritt 6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - y])}{x - y}$

Schritt 6.3

Ersetze alle $u$ durch $x - y$ .

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - y])}{x - y}$

Schritt 7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - y])}{x - y}$

Schritt 8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - y])}{x - y}$

Schritt 9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - y])}{x - y}$

Schritt 10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - y])}{x - y}$

Schritt 10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - y])}{x - y}$

Schritt 11

Kombiniere Brüche.

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Schritt 11.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - y])}{x - y}$

Schritt 11.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x - y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x - y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - y])}{x - y}$

Schritt 11.3

Bringe ${(x - y)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - y])}{x - y}$

Schritt 11.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - y]}{x - y}$

Schritt 12

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])}{x - y}$

Schritt 13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- y])}{x - y}$

Schritt 14

Da $- y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}{x - y}$

Schritt 15

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 15.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{x - y}$

Schritt 15.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$

Schritt 16

Um ${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$

Schritt 17

Kombiniere ${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$

Schritt 18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}) - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$

Schritt 19

Multipliziere ${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 19.1

Bewege ${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$

Schritt 19.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$

Schritt 19.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{{(x - y)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$

Schritt 19.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{{(x - y)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$

Schritt 19.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{\frac{{(x - y)}^{1} \cdot 2 - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$

Schritt 20

Vereinfache ${(x - y)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{\frac{(x - y) \cdot 2 - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$

Schritt 21

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x - y$ .

$\frac{\frac{2 \cdot (x - y) - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$

Schritt 22

Schreibe $\frac{\frac{2 (x - y) - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$ als ein Produkt um.

$\frac{2 (x - y) - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x - y}$

Schritt 23

Mutltipliziere $\frac{2 (x - y) - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{x - y}$ .

$\frac{2 (x - y) - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}} (x - y)}$

Schritt 24

Potenziere $x - y$ mit $1$ .

$\frac{2 (x - y) - x}{2 ({(x - y)}^{1} {(x - y)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 25

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 (x - y) - x}{2 {(x - y)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Schritt 26

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 (x - y) - x}{2 {(x - y)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Schritt 27

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 (x - y) - x}{2 {(x - y)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Schritt 28

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{2 (x - y) - x}{2 {(x - y)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 29

Vereinfache.

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Schritt 29.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x + 2 (- y) - x}{2 {(x - y)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 29.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 29.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 x - 2 y - x}{2 {(x - y)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 29.2.2

Subtrahiere $x$ von $2 x$ .

$\frac{x - 2 y}{2 {(x - y)}^{\frac{3}{2}}}$