Analysis Beispiele

$x \sqrt{9 - x}$

Schritt 1

Schreibe $x \sqrt{9 - x}$ als Funktion.

$f (x) = x \sqrt{9 - x}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{9 - x}$ als ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}] + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 9 - x$ .

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Schritt 2.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $9 - x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $9 - x$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(9 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(9 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.8.3

Bringe ${(9 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 - x] + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.10

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.11

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.12

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.14

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1.14.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.14.2

Kombiniere $\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ und $- 1$ .

$\frac{x \cdot - 1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.14.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.14.3.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.14.3.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{- x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.14.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Schritt 2.1.16

Mutltipliziere ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$- \frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.1.17

Um ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.18

Kombiniere ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.20

Multipliziere ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.20.1

Bewege ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- x + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.20.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- x + {(9 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.20.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x + {(9 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.20.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- x + {(9 - x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.20.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{- x + {(9 - x)}^{1} \cdot 2}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.21

Vereinfache ${(9 - x)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{- x + (9 - x) \cdot 2}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.22

Bringe $2$ auf die linke Seite von $9 - x$ .

$\frac{- x + 2 \cdot (9 - x)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.23

Vereinfache.

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Schritt 2.1.23.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x + 2 \cdot 9 + 2 (- x)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.23.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.23.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.23.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$\frac{- x + 18 + 2 (- x)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.23.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- x + 18 - 2 x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.23.2.2

Subtrahiere $2 x$ von $- x$ .

$\frac{- 3 x + 18}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.23.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x + 18$ heraus.

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Schritt 2.1.23.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x$ heraus.

$\frac{3 (- x) + 18}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.23.3.2

Faktorisiere $3$ aus $18$ heraus.

$\frac{3 (- x) + 3 (6)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.23.3.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x) + 3 (6)$ heraus.

$\frac{3 (- x + 6)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.23.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{3 (- (x) + 6)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.23.5

Schreibe $6$ als $- 1 (- 6)$ um.

$\frac{3 (- (x) - 1 (- 6))}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.23.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 6)$ heraus.

$\frac{3 (- (x - 6))}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.23.7

Schreibe $- (x - 6)$ als $- 1 (x - 6)$ um.

$\frac{3 (- 1 (x - 6))}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.23.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{3 (x - 6)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Da $- \frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3 (x - 6)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 6}{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 6}{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x - 6$ und $g (x) = {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6] - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6] - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(9 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6] - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(9 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6] - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(9 - x)}^{1}}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6] - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{9 - x}$

Schritt 2.2.5

Differenziere.

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Schritt 2.2.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{9 - x}$

Schritt 2.2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{9 - x}$

Schritt 2.2.5.3

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{9 - x}$

Schritt 2.2.5.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.5.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{9 - x}$

Schritt 2.2.5.4.2

Mutltipliziere ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{9 - x}$

Schritt 2.2.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 9 - x$ .

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Schritt 2.2.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $9 - x$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

Schritt 2.2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

Schritt 2.2.6.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $9 - x$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

Schritt 2.2.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

Schritt 2.2.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

Schritt 2.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

Schritt 2.2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

Schritt 2.2.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

Schritt 2.2.11

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.2.11.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

Schritt 2.2.11.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(9 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{{(9 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

Schritt 2.2.11.3

Bringe ${(9 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

Schritt 2.2.12

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x]))}{9 - x}$

Schritt 2.2.13

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))}{9 - x}$

Schritt 2.2.14

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x])}{9 - x}$

Schritt 2.2.15

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x]))}{9 - x}$

Schritt 2.2.16

Multipliziere.

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Schritt 2.2.16.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + 1 (x - 6) (\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x]))}{9 - x}$

Schritt 2.2.16.2

Mutltipliziere $x - 6$ mit $1$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) (\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x]))}{9 - x}$

Schritt 2.2.17

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{9 - x}$

Schritt 2.2.18

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.2.18.1

Mutltipliziere $x - 6$ mit $1$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x}$

Schritt 2.2.18.2

Mutltipliziere $\frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x}$ mit $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{({(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 3}{(9 - x) \cdot 2}$

Schritt 2.2.18.3

Stelle um.

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Schritt 2.2.18.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{3 \cdot ({(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{(9 - x) \cdot 2}$

Schritt 2.2.18.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $9 - x$ .

$- \frac{3 ({(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot (9 - x)}$

Schritt 2.2.19

Vereinfache.

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Schritt 2.2.19.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{3 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 (9 - x)}$

Schritt 2.2.19.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{3 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Schritt 2.2.19.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.19.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + 3 (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

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Schritt 2.2.19.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$- \frac{3 ({(9 - x)}^{\frac{1}{2}}) + 3 (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Schritt 2.2.19.3.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

$- \frac{3 ({(9 - x)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Schritt 2.2.19.3.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 ({(9 - x)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}})$ heraus.

$- \frac{3 ({(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Schritt 2.2.19.3.2

Es sei $u_{2} = {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ . Ersetze $u_{2}$ für alle ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.2.19.3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{3 \frac{2 u_{2} \cdot u_{2} + x - 6}{2 u_{2}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Schritt 2.2.19.3.2.2

Multipliziere $u_{2}$ mit $u_{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.19.3.2.2.1

Bewege $u_{2}$ .

$- \frac{3 \frac{2 (u_{2} \cdot u_{2}) + x - 6}{2 u_{2}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Schritt 2.2.19.3.2.2.2

Mutltipliziere $u_{2}$ mit $u_{2}$ .

$- \frac{3 \frac{2 {u_{2}}^{2} + x - 6}{2 u_{2}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Schritt 2.2.19.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3 \frac{2 {({(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + x - 6}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Schritt 2.2.19.3.4

Vereinfache.

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Schritt 2.2.19.3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.19.3.4.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.19.3.4.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3 \frac{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x - 6}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Schritt 2.2.19.3.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.19.3.4.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3 \frac{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x - 6}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Schritt 2.2.19.3.4.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3 \frac{2 {(9 - x)}^{1} + x - 6}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Schritt 2.2.19.3.4.1.2

Vereinfache.

$- \frac{3 \frac{2 (9 - x) + x - 6}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Schritt 2.2.19.3.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{3 \frac{2 \cdot 9 + 2 (- x) + x - 6}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Schritt 2.2.19.3.4.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$- \frac{3 \frac{18 + 2 (- x) + x - 6}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Schritt 2.2.19.3.4.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{3 \frac{18 - 2 x + x - 6}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Schritt 2.2.19.3.4.2

Subtrahiere $6$ von $18$ .

$- \frac{3 \frac{- 2 x + x + 12}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Schritt 2.2.19.3.4.3

Addiere $- 2 x$ und $x$ .

$- \frac{3 \frac{- x + 12}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Schritt 2.2.19.4

Vereine die Terme

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Schritt 2.2.19.4.1

Kombiniere $3$ und $\frac{- x + 12}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{\frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Schritt 2.2.19.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$- \frac{\frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{18 + 2 (- x)}$

Schritt 2.2.19.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{\frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{18 - 2 x}$

Schritt 2.2.19.4.4

Schreibe $\frac{\frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{18 - 2 x}$ als ein Produkt um.

$- (\frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{18 - 2 x})$

Schritt 2.2.19.4.5

Mutltipliziere $\frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{18 - 2 x}$ .

$- \frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (18 - 2 x)}$

Schritt 2.2.19.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.19.5.1

Faktorisiere $2$ aus $18 - 2 x$ heraus.

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Schritt 2.2.19.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$- \frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (9) - 2 x)}$

Schritt 2.2.19.5.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$- \frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (9) + 2 (- x))}$

Schritt 2.2.19.5.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (9) + 2 (- x)$ heraus.

$- \frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (9 - x))}$

$- \frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (9 - x)}$

Schritt 2.2.19.5.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.2.19.5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{3 (- x + 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (9 - x)}$

Schritt 2.2.19.5.2.2

Potenziere $9 - x$ mit $1$ .

$- \frac{3 (- x + 12)}{4 ({(9 - x)}^{1} {(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 2.2.19.5.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{3 (- x + 12)}{4 {(9 - x)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Schritt 2.2.19.5.2.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{3 (- x + 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Schritt 2.2.19.5.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{3 (- x + 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Schritt 2.2.19.5.2.6

Addiere $2$ und $1$ .

$- \frac{3 (- x + 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.19.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$- \frac{3 (- (x) + 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.19.7

Schreibe $12$ als $- 1 (- 12)$ um.

$- \frac{3 (- (x) - 1 (- 12))}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.19.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 12)$ heraus.

$- \frac{3 (- (x - 12))}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.19.9

Schreibe $- (x - 12)$ als $- 1 (x - 12)$ um.

$- \frac{3 (- 1 (x - 12))}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.19.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.19.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.19.12

Mutltipliziere $\frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$3 (x - 12) = 0$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 (x - 12) = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $3 (x - 12) = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 (x - 12)}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (x - 12)}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 3.3.1.2.1.2

Dividiere $x - 12$ durch $1$ .

$x - 12 = \frac{0}{3}$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$x - 12 = 0$

Schritt 3.3.2

Addiere $12$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 12$

Schritt 3.4

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$

Schritt 4

Keine Werte gefunden, die die zweite Ableitung gleich $0$ machen.

Keine Wendepunkte