Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = 1 + \sec (x)$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)] - \sec (x) \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 2

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \sec (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)])}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 3.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sec (x)])}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 4

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) (\sec (x) \tan (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 5

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x) \tan (x) - (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 6

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x) \tan (x) - (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x) \tan (x) - {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) \tan (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(1 \sec (x) + \sec (x) \sec (x)) \tan (x) - \sec^{2} (x) \tan (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) \tan (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.3.1.1

Mutltipliziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \sec (x) \sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) \tan (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 9.3.1.2

Multipliziere $\sec (x) \sec (x)$ .

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Schritt 9.3.1.2.1

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) \tan (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 9.3.1.2.2

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) \tan (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 9.3.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sec (x) \tan (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) - \sec^{2} (x) \tan (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 9.3.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) \tan (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 9.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) \tan (x)$ .

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Schritt 9.3.2.1

Subtrahiere $\sec^{2} (x) \tan (x)$ von $\sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + 0}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Schritt 9.3.2.2

Addiere $\sec (x) \tan (x)$ und $0$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$