Analysis Beispiele

$f (x) = e^{\log (\sin (3 x))}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \log (\sin (3 x))$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\log (\sin (3 x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\log (\sin (3 x))]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\log (\sin (3 x))]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\log (\sin (3 x))$ .

$e^{\log (\sin (3 x))} \frac{d}{d x} [\log (\sin (3 x))]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \log (x)$ und $g (x) = \sin (3 x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\sin (3 x)$ .

$e^{\log (\sin (3 x))} (\frac{d}{d u_{2}} [\log (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\log (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2} \ln (10)}$ .

$e^{\log (\sin (3 x))} (\frac{1}{u_{2} \ln (10)} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sin (3 x)$ .

$e^{\log (\sin (3 x))} (\frac{1}{\sin (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

Schritt 3

Kombiniere $\frac{1}{\sin (3 x) \ln (10)}$ und $e^{\log (\sin (3 x))}$ .

$\frac{e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $3 x$ .

$\frac{e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 4.2

Die Ableitung von $\sin (u_{3})$ nach $u_{3}$ ist $\cos (u_{3})$ .

$\frac{e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $3 x$ .

$\frac{e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\cos (3 x)$ und $\frac{e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)}$ .

$\frac{\cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 5.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5.3

Kombiniere $3$ und $\frac{\cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)}$ .

$\frac{3 (\cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))})}{\sin (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{3 \cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} \cdot 1$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $\frac{3 \cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)}$ mit $1$ .

$\frac{3 \cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Stelle die Faktoren in $3 \cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}$ um.

$\frac{3 e^{\log (\sin (3 x))} \cos (3 x)}{\sin (3 x) \ln (10)}$

Schritt 6.2

Separiere Brüche.

$\frac{3 e^{\log (\sin (3 x))}}{\ln (10)} \cdot \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$

Schritt 6.3

Wandle von $\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ nach $\cot (3 x)$ um.

$\frac{3 e^{\log (\sin (3 x))}}{\ln (10)} \cot (3 x)$

Schritt 6.4

Kombiniere $\frac{3 e^{\log (\sin (3 x))}}{\ln (10)}$ und $\cot (3 x)$ .

$\frac{3 e^{\log (\sin (3 x))} \cot (3 x)}{\ln (10)}$