Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{\ln (x)}{1 + x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 1 + x$ .

$\frac{(1 + x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{(1 + x) \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + x) \frac{1}{x} - \ln (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 3.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(1 + x) \frac{1}{x} - \ln (x) (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + x) \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(1 + x) \frac{1}{x} - \ln (x) \cdot 1}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(1 + x) \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \frac{1}{x} + x \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{1}{x} + x \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{1}{x} + x \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{1}{x} + 1 - \ln (x)}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{1}{x} + 1 - \ln (x)}{{(1 + x)}^{2}}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{1}{x} + 1 - \ln (x)}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Kombinieren.

$\frac{x (\frac{1}{x} + 1 - \ln (x))}{x {(1 + x)}^{2}}$

Schritt 4.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \frac{1}{x} + x \cdot 1 + x (- \ln (x))}{x {(1 + x)}^{2}}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{1}{x} + x \cdot 1 + x (- \ln (x))}{x {(1 + x)}^{2}}$

Schritt 4.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + x \cdot 1 + x (- \ln (x))}{x {(1 + x)}^{2}}$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1 + x + x (- \ln (x))}{x {(1 + x)}^{2}}$

Schritt 4.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- x \ln (x) + x + 1}{x {(1 + x)}^{2}}$

Schritt 4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x \ln (x)$ heraus.

$\frac{- (x \ln (x)) + x + 1}{x {(1 + x)}^{2}}$

Schritt 4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\frac{- (x \ln (x)) - 1 (- x) + 1}{x {(1 + x)}^{2}}$

Schritt 4.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x \ln (x)) - 1 (- x)$ heraus.

$\frac{- (x \ln (x) - x) + 1}{x {(1 + x)}^{2}}$

Schritt 4.8

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- (x \ln (x) - x) - 1 (- 1)}{x {(1 + x)}^{2}}$

Schritt 4.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x \ln (x) - x) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{- (x \ln (x) - x - 1)}{x {(1 + x)}^{2}}$

Schritt 4.10

Schreibe $- (x \ln (x) - x - 1)$ als $- 1 (x \ln (x) - x - 1)$ um.

$\frac{- 1 (x \ln (x) - x - 1)}{x {(1 + x)}^{2}}$

Schritt 4.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x \ln (x) - x - 1}{x {(1 + x)}^{2}}$