Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9}]$ als $\frac{d}{d x} [2 x - 3]$ um.

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Schritt 1.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(2 x)}^{2} - 12 x + 9}]$

Schritt 1.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(2 x)}^{2} - 12 x + 3^{2}}]$

Schritt 1.1.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$12 x = 2 \cdot (2 x) \cdot 3$

Schritt 1.1.4

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(2 x)}^{2} - 2 \cdot (2 x) \cdot 3 + 3^{2}}]$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = 2 x$ und $b = 3$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(2 x - 3)}^{2}}]$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 6

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 7

Addiere $2$ und $0$ .

$2$