Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{t - 5}{t^{2} + 10 t + 25}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = t - 5$ und $g (t) = t^{2} + 10 t + 25$ .

$\frac{(t^{2} + 10 t + 25) \frac{d}{d t} [t - 5] - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t - 5$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$\frac{(t^{2} + 10 t + 25) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 5]) - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(t^{2} + 10 t + 25) (1 + \frac{d}{d t} [- 5]) - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Schritt 2.3

Da $- 5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{(t^{2} + 10 t + 25) (1 + 0) - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(t^{2} + 10 t + 25) \cdot 1 - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $t^{2} + 10 t + 25$ mit $1$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Schritt 2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{2} + 10 t + 25$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t] + \frac{d}{d t} [25]$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t] + \frac{d}{d t} [25])}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + \frac{d}{d t} [10 t] + \frac{d}{d t} [25])}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Schritt 2.7

Da $10$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $10 t$ nach $t$ gleich $10 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + 10 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [25])}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [25])}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + 10 + \frac{d}{d t} [25])}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Schritt 2.10

Da $25$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $25$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + 10 + 0)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Schritt 2.11

Addiere $2 t + 10$ und $0$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + 10)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 + (- t - - 5) (2 t + 10)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 + (- t + 5) (2 t + 10)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2

Multipliziere $(- t + 5) (2 t + 10)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - t (2 t + 10) + 5 (2 t + 10)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - t (2 t) - t \cdot 10 + 5 (2 t + 10)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - t (2 t) - t \cdot 10 + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 1 \cdot 2 t \cdot t - t \cdot 10 + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.3.1.2

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.3.1.2.1

Bewege $t$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 1 \cdot 2 (t \cdot t) - t \cdot 10 + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 1 \cdot 2 t^{2} - t \cdot 10 + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} - t \cdot 10 + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.3.1.4

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} - 10 t + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} - 10 t + 10 t + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.3.1.6

Mutltipliziere $5$ mit $10$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} - 10 t + 10 t + 50}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.3.2

Addiere $- 10 t$ und $10 t$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} + 0 + 50}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.3.3

Addiere $- 2 t^{2}$ und $0$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} + 50}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $2 t^{2}$ von $t^{2}$ .

$\frac{- t^{2} + 10 t + 25 + 50}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Addiere $25$ und $50$ .

$\frac{- t^{2} + 10 t + 75}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Schritt 3.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 75 = - 75$ und deren Summe gleich $b = 10$ ist.

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $10$ aus $10 t$ heraus.

$\frac{- t^{2} + 10 (t) + 75}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Schreibe $10$ um als $- 5$ plus $15$

$\frac{- t^{2} + (- 5 + 15) t + 75}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- t^{2} - 5 t + 15 t + 75}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(- t^{2} - 5 t) + 15 t + 75}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Schritt 3.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{t (- t - 5) - 15 (- t - 5)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- t - 5$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.4.1.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t^{2} + 10 t + 5^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 t = 2 \cdot t \cdot 5$

Schritt 3.4.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t^{2} + 2 \cdot t \cdot 5 + 5^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = t$ und $b = 5$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{({(t + 5)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(t + 5)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 3.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

Schritt 3.4.3

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 4 t^{3} \cdot 5 + 6 t^{2} \cdot 5^{2} + 4 t \cdot 5^{3} + 5^{4}}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 6 t^{2} \cdot 5^{2} + 4 t \cdot 5^{3} + 5^{4}}$

Schritt 3.4.4.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 6 t^{2} \cdot 25 + 4 t \cdot 5^{3} + 5^{4}}$

Schritt 3.4.4.3

Mutltipliziere $25$ mit $6$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 150 t^{2} + 4 t \cdot 5^{3} + 5^{4}}$

Schritt 3.4.4.4

Potenziere $5$ mit $3$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 150 t^{2} + 4 t \cdot 125 + 5^{4}}$

Schritt 3.4.4.5

Mutltipliziere $125$ mit $4$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 150 t^{2} + 500 t + 5^{4}}$

Schritt 3.4.4.6

Potenziere $5$ mit $4$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 150 t^{2} + 500 t + 625}$

Schritt 3.4.5

Passe jeden Term so an, dass er den Termen des binomischen Lehrsatzes entspricht.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 4 \cdot 5 t^{3} + 6 \cdot 5^{2} t^{2} + 4 \cdot 5^{3} t + 5^{4}}$

Schritt 3.4.6

Faktorisiere $t^{4} + 4 \cdot 5 t^{3} + 6 \cdot 5^{2} t^{2} + 4 \cdot 5^{3} t + 5^{4}$ mithilfe des Binomischen Lehrsatzes.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- t - 5$ und ${(t + 5)}^{4}$ .

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- t$ heraus.

$\frac{(- (t) - 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

Schritt 3.5.2

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$\frac{(- (t) - 1 (5)) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

Schritt 3.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (t) - 1 (5)$ heraus.

$\frac{- (t + 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

Schritt 3.5.4

Schreibe $- (t + 5)$ als $- 1 (t + 5)$ um.

$\frac{- 1 (t + 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

Schritt 3.5.5

Faktorisiere $t + 5$ aus $- 1 (t + 5) (t - 15)$ heraus.

$\frac{(t + 5) (- 1 (t - 15))}{{(t + 5)}^{4}}$

Schritt 3.5.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.6.1

Faktorisiere $t + 5$ aus ${(t + 5)}^{4}$ heraus.

$\frac{(t + 5) (- 1 (t - 15))}{(t + 5) {(t + 5)}^{3}}$

Schritt 3.5.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(t + 5) (- 1 (t - 15))}{(t + 5) {(t + 5)}^{3}}$

Schritt 3.5.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 (t - 15)}{{(t + 5)}^{3}}$

Schritt 3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{t - 15}{{(t + 5)}^{3}}$