Analysis Beispiele

$f (x) = \arctan (3 x^{2})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = 3 x^{2}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(3 x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{1 + {(3 (x^{2}))}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Schritt 2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1

Wende die Produktregel auf $3 (x^{2})$ an.

$\frac{1}{1 + 3^{2} {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1}{1 + 9 {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Schritt 2.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + 9 x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Schritt 2.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{1 + 9 x^{4}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Schritt 2.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + 9 x^{4}} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.4

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{1 + 9 x^{4}}$ .

$\frac{3}{1 + 9 x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{3}{1 + 9 x^{4}} (2 x)$

Schritt 2.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.6.1

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{1 + 9 x^{4}}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{1 + 9 x^{4}} x$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6}{1 + 9 x^{4}} x$

Schritt 2.6.3

Kombiniere $\frac{6}{1 + 9 x^{4}}$ und $x$ .

$\frac{6 x}{1 + 9 x^{4}}$

Schritt 2.6.4

Stelle die Terme um.

$\frac{6 x}{9 x^{4} + 1}$