Analysis Beispiele

$s (t) = \frac{1}{t^{2} + 3 t - 1}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{t^{2} + 3 t - 1}$ als ${(t^{2} + 3 t - 1)}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d t} [{(t^{2} + 3 t - 1)}^{- 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{- 1}$ und $g (t) = t^{2} + 3 t - 1$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t^{2} + 3 t - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2} + 3 t - 1]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3 t - 1]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $t^{2} + 3 t - 1$ .

$- {(t^{2} + 3 t - 1)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3 t - 1]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{2} + 3 t - 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$- {(t^{2} + 3 t - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- {(t^{2} + 3 t - 1)}^{- 2} (2 t + \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Schritt 3.3

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- {(t^{2} + 3 t - 1)}^{- 2} (2 t + 3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- {(t^{2} + 3 t - 1)}^{- 2} (2 t + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1])$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- {(t^{2} + 3 t - 1)}^{- 2} (2 t + 3 + \frac{d}{d t} [- 1])$

Schritt 3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$- {(t^{2} + 3 t - 1)}^{- 2} (2 t + 3 + 0)$

Schritt 3.7

Addiere $2 t + 3$ und $0$ .

$- {(t^{2} + 3 t - 1)}^{- 2} (2 t + 3)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(t^{2} + 3 t - 1)}^{2}} (2 t + 3)$

Schritt 4.2

Stelle die Faktoren von $- \frac{1}{{(t^{2} + 3 t - 1)}^{2}} (2 t + 3)$ um.

$- (2 t + 3) \frac{1}{{(t^{2} + 3 t - 1)}^{2}}$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(- (2 t) - 1 \cdot 3) \frac{1}{{(t^{2} + 3 t - 1)}^{2}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(- 2 t - 1 \cdot 3) \frac{1}{{(t^{2} + 3 t - 1)}^{2}}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$(- 2 t - 3) \frac{1}{{(t^{2} + 3 t - 1)}^{2}}$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $- 2 t - 3$ mit $\frac{1}{{(t^{2} + 3 t - 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 t - 3}{{(t^{2} + 3 t - 1)}^{2}}$

Schritt 4.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 t$ heraus.

$\frac{- (2 t) - 3}{{(t^{2} + 3 t - 1)}^{2}}$

Schritt 4.8

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$\frac{- (2 t) - 1 (3)}{{(t^{2} + 3 t - 1)}^{2}}$

Schritt 4.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 t) - 1 (3)$ heraus.

$\frac{- (2 t + 3)}{{(t^{2} + 3 t - 1)}^{2}}$

Schritt 4.10

Schreibe $- (2 t + 3)$ als $- 1 (2 t + 3)$ um.

$\frac{- 1 (2 t + 3)}{{(t^{2} + 3 t - 1)}^{2}}$

Schritt 4.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 t + 3}{{(t^{2} + 3 t - 1)}^{2}}$