Analysis Beispiele

$q (r) = \frac{3 r}{5 r + 2}$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 r}{5 r + 2}$ nach $r$ gleich $3 \frac{d}{d r} [\frac{r}{5 r + 2}]$ .

$3 \frac{d}{d r} [\frac{r}{5 r + 2}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ gleich $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ ist mit $f (r) = r$ und $g (r) = 5 r + 2$ .

$3 \frac{(5 r + 2) \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [5 r + 2]}{{(5 r + 2)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \frac{(5 r + 2) \cdot 1 - r \frac{d}{d r} [5 r + 2]}{{(5 r + 2)}^{2}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $5 r + 2$ mit $1$ .

$3 \frac{5 r + 2 - r \frac{d}{d r} [5 r + 2]}{{(5 r + 2)}^{2}}$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 r + 2$ nach $r$ $\frac{d}{d r} [5 r] + \frac{d}{d r} [2]$ .

$3 \frac{5 r + 2 - r (\frac{d}{d r} [5 r] + \frac{d}{d r} [2])}{{(5 r + 2)}^{2}}$

Schritt 3.4

Da $5$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $5 r$ nach $r$ gleich $5 \frac{d}{d r} [r]$ .

$3 \frac{5 r + 2 - r (5 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [2])}{{(5 r + 2)}^{2}}$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \frac{5 r + 2 - r (5 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [2])}{{(5 r + 2)}^{2}}$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$3 \frac{5 r + 2 - r (5 + \frac{d}{d r} [2])}{{(5 r + 2)}^{2}}$

Schritt 3.7

Da $2$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $r$ gleich $0$ .

$3 \frac{5 r + 2 - r (5 + 0)}{{(5 r + 2)}^{2}}$

Schritt 3.8

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.8.1

Addiere $5$ und $0$ .

$3 \frac{5 r + 2 - r \cdot 5}{{(5 r + 2)}^{2}}$

Schritt 3.8.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$3 \frac{5 r + 2 - 5 r}{{(5 r + 2)}^{2}}$

Schritt 3.8.3

Subtrahiere $5 r$ von $5 r$ .

$3 \frac{0 + 2}{{(5 r + 2)}^{2}}$

Schritt 3.8.4

Addiere $0$ und $2$ .

$3 \frac{2}{{(5 r + 2)}^{2}}$

Schritt 3.8.5

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{{(5 r + 2)}^{2}}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{{(5 r + 2)}^{2}}$

Schritt 3.8.6

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6}{{(5 r + 2)}^{2}}$