Analysis Beispiele

$g (x) = \ln (e^{x} + \ln (x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = e^{x} + \ln (x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $e^{x} + \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + \ln (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + \ln (x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $e^{x} + \ln (x)$ .

$\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} \frac{d}{d x} [e^{x} + \ln (x)]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} + \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} (e^{x} + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 4

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} (e^{x} + \frac{1}{x})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} (e^{x} + \frac{1}{x})$ um.

$(e^{x} + \frac{1}{x}) \frac{1}{e^{x} + \ln (x)}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $e^{x} + \frac{1}{x}$ mit $\frac{1}{e^{x} + \ln (x)}$ .

$\frac{e^{x} + \frac{1}{x}}{e^{x} + \ln (x)}$

Schritt 5.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x$ .

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $\frac{e^{x} + \frac{1}{x}}{e^{x} + \ln (x)}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{e^{x} + \frac{1}{x}}{e^{x} + \ln (x)}$

Schritt 5.3.2

Kombinieren.

$\frac{x (e^{x} + \frac{1}{x})}{x (e^{x} + \ln (x))}$

Schritt 5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x e^{x} + x \frac{1}{x}}{x e^{x} + x \ln (x)}$

Schritt 5.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x e^{x} + x \frac{1}{x}}{x e^{x} + x \ln (x)}$

Schritt 5.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x e^{x} + 1}{x e^{x} + x \ln (x)}$

Schritt 5.6

Faktorisiere $x$ aus $x e^{x} + x \ln (x)$ heraus.

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Schritt 5.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x e^{x}$ heraus.

$\frac{x e^{x} + 1}{x (e^{x}) + x \ln (x)}$

Schritt 5.6.2

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (x)$ heraus.

$\frac{x e^{x} + 1}{x (e^{x}) + x (\ln (x))}$

Schritt 5.6.3

Faktorisiere $x$ aus $x (e^{x}) + x (\ln (x))$ heraus.

$\frac{x e^{x} + 1}{x (e^{x} + \ln (x))}$