Analysis Beispiele

$h (t) = 6 \cos (\frac{π}{6} t) + 8$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 \cos (\frac{π}{6} t) + 8$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [6 \cos (\frac{π}{6} t)] + \frac{d}{d t} [8]$ .

$\frac{d}{d t} [6 \cos (\frac{π}{6} t)] + \frac{d}{d t} [8]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d t} [6 \cos (\frac{π}{6} t)]$ .

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{π}{6}$ und $t$ .

$\frac{d}{d t} [6 \cos (\frac{π t}{6})] + \frac{d}{d t} [8]$

Schritt 2.2

Da $6$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $6 \cos (\frac{π t}{6})$ nach $t$ gleich $6 \frac{d}{d t} [\cos (\frac{π t}{6})]$ .

$6 \frac{d}{d t} [\cos (\frac{π t}{6})] + \frac{d}{d t} [8]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \cos (t)$ und $g (t) = \frac{π t}{6}$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{π t}{6}$ .

$6 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d t} [\frac{π t}{6}]) + \frac{d}{d t} [8]$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$6 (- \sin (u) \frac{d}{d t} [\frac{π t}{6}]) + \frac{d}{d t} [8]$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{π t}{6}$ .

$6 (- \sin (\frac{π t}{6}) \frac{d}{d t} [\frac{π t}{6}]) + \frac{d}{d t} [8]$

Schritt 2.4

Da $\frac{π}{6}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{π t}{6}$ nach $t$ gleich $\frac{π}{6} \frac{d}{d t} [t]$ .

$6 (- \sin (\frac{π t}{6}) (\frac{π}{6} \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [8]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 (- \sin (\frac{π t}{6}) (\frac{π}{6} \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [8]$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $\frac{π}{6}$ mit $1$ .

$6 (- \sin (\frac{π t}{6}) \frac{π}{6}) + \frac{d}{d t} [8]$

Schritt 2.7

Kombiniere $\frac{π}{6}$ und $\sin (\frac{π t}{6})$ .

$6 (- \frac{π \sin (\frac{π t}{6})}{6}) + \frac{d}{d t} [8]$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$- 6 \frac{π \sin (\frac{π t}{6})}{6} + \frac{d}{d t} [8]$

Schritt 2.9

Kombiniere $- 6$ und $\frac{π \sin (\frac{π t}{6})}{6}$ .

$\frac{- 6 (π \sin (\frac{π t}{6}))}{6} + \frac{d}{d t} [8]$

Schritt 2.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $6$ .

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Schritt 2.10.1

Faktorisiere $6$ aus $- 6 π \sin (\frac{π t}{6})$ heraus.

$\frac{6 (- π \sin (\frac{π t}{6}))}{6} + \frac{d}{d t} [8]$

Schritt 2.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.10.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$\frac{6 (- π \sin (\frac{π t}{6}))}{6 (1)} + \frac{d}{d t} [8]$

Schritt 2.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 (- π \sin (\frac{π t}{6}))}{6 \cdot 1} + \frac{d}{d t} [8]$

Schritt 2.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- π \sin (\frac{π t}{6})}{1} + \frac{d}{d t} [8]$

Schritt 2.10.2.4

Dividiere $- π \sin (\frac{π t}{6})$ durch $1$ .

$- π \sin (\frac{π t}{6}) + \frac{d}{d t} [8]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.1

Da $8$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$- π \sin (\frac{π t}{6}) + 0$

Schritt 3.2

Addiere $- π \sin (\frac{π t}{6})$ und $0$ .

$- π \sin (\frac{π t}{6})$