Analysis Beispiele

$g (r) = r^{2} \ln (2 r + 1)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ gleich $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ ist mit $f (r) = r^{2}$ und $g (r) = \ln (2 r + 1)$ .

$r^{2} \frac{d}{d r} [\ln (2 r + 1)] + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ ist $f' (g (r)) g' (r)$ , mit $f (r) = \ln (r)$ und $g (r) = 2 r + 1$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 r + 1$ .

$r^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d r} [2 r + 1]) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$r^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d r} [2 r + 1]) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 r + 1$ .

$r^{2} (\frac{1}{2 r + 1} \frac{d}{d r} [2 r + 1]) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{2 r + 1}$ und $r^{2}$ .

$\frac{r^{2}}{2 r + 1} \frac{d}{d r} [2 r + 1] + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 r + 1$ nach $r$ $\frac{d}{d r} [2 r] + \frac{d}{d r} [1]$ .

$\frac{r^{2}}{2 r + 1} (\frac{d}{d r} [2 r] + \frac{d}{d r} [1]) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Schritt 3.3

Da $2$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $2 r$ nach $r$ gleich $2 \frac{d}{d r} [r]$ .

$\frac{r^{2}}{2 r + 1} (2 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [1]) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{r^{2}}{2 r + 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [1]) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{r^{2}}{2 r + 1} (2 + \frac{d}{d r} [1]) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Schritt 3.6

Da $1$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $r$ gleich $0$ .

$\frac{r^{2}}{2 r + 1} (2 + 0) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Schritt 3.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.7.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{r^{2}}{2 r + 1} \cdot 2 + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Schritt 3.7.2

Kombiniere $\frac{r^{2}}{2 r + 1}$ und $2$ .

$\frac{r^{2} \cdot 2}{2 r + 1} + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Schritt 3.7.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $r^{2}$ .

$\frac{2 \cdot r^{2}}{2 r + 1} + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2 r^{2}}{2 r + 1} + \ln (2 r + 1) (2 r)$

Schritt 4

Um $\ln (2 r + 1) (2 r)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 r + 1}{2 r + 1}$ .

$\frac{2 r^{2}}{2 r + 1} + \frac{\ln (2 r + 1) (2 r) (2 r + 1)}{2 r + 1}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 r^{2} + \ln (2 r + 1) (2 r) (2 r + 1)}{2 r + 1}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 r^{2} + 2 \ln (2 r + 1) r (2 r + 1)}{2 r + 1}$

Schritt 6.1.2

Vereinfache $2 \ln (2 r + 1)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{2 r^{2} + \ln ({(2 r + 1)}^{2}) r (2 r + 1)}{2 r + 1}$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 r^{2} + \ln ({(2 r + 1)}^{2}) r (2 r) + \ln ({(2 r + 1)}^{2}) r \cdot 1}{2 r + 1}$

Schritt 6.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 r^{2} + 2 \ln ({(2 r + 1)}^{2}) r \cdot r + \ln ({(2 r + 1)}^{2}) r \cdot 1}{2 r + 1}$

Schritt 6.1.5

Mutltipliziere $\ln ({(2 r + 1)}^{2})$ mit $1$ .

$\frac{2 r^{2} + 2 \ln ({(2 r + 1)}^{2}) r \cdot r + r \cdot \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$

Schritt 6.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.6.1

Multipliziere $r$ mit $r$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.6.1.1

Bewege $r$ .

$\frac{2 r^{2} + 2 \ln ({(2 r + 1)}^{2}) (r \cdot r) + r \cdot \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$

Schritt 6.1.6.1.2

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$\frac{2 r^{2} + 2 \ln ({(2 r + 1)}^{2}) r^{2} + r \cdot \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$

Schritt 6.1.6.2

Vereinfache $2 \ln ({(2 r + 1)}^{2})$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{2 r^{2} + \ln ({({(2 r + 1)}^{2})}^{2}) r^{2} + r \cdot \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$

Schritt 6.1.6.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 r + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 6.1.6.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 r^{2} + \ln ({(2 r + 1)}^{2 \cdot 2}) r^{2} + r \cdot \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$

Schritt 6.1.6.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 r^{2} + \ln ({(2 r + 1)}^{4}) r^{2} + r \cdot \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$

$\frac{2 r^{2} + \ln ({(2 r + 1)}^{4}) r^{2} + r \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$

Schritt 6.2

Stelle die Faktoren in $2 r^{2} + \ln ({(2 r + 1)}^{4}) r^{2} + r \ln ({(2 r + 1)}^{2})$ um.

$\frac{2 r^{2} + r^{2} \ln ({(2 r + 1)}^{4}) + r \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$