Analysis Beispiele

$g (t) = t^{2} \ln (e^{2 t} + 8)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = \ln (e^{2 t} + 8)$ .

$t^{2} \frac{d}{d t} [\ln (e^{2 t} + 8)] + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \ln (t)$ und $g (t) = e^{2 t} + 8$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $e^{2 t} + 8$ .

$t^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [e^{2 t} + 8]) + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$t^{2} (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [e^{2 t} + 8]) + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $e^{2 t} + 8$ .

$t^{2} (\frac{1}{e^{2 t} + 8} \frac{d}{d t} [e^{2 t} + 8]) + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Summenregel.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{e^{2 t} + 8}$ und $t^{2}$ .

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 8} \frac{d}{d t} [e^{2 t} + 8] + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{2 t} + 8$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [e^{2 t}] + \frac{d}{d t} [8]$ .

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 8} (\frac{d}{d t} [e^{2 t}] + \frac{d}{d t} [8]) + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = 2 t$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 t$ .

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 8} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [8]) + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 8} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [8]) + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 t$ .

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 8} (e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [8]) + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 8} (e^{2 t} (2 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [8]) + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 8} (e^{2 t} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [8]) + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 5.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 8} (e^{2 t} \cdot 2 + \frac{d}{d t} [8]) + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 5.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 t}$ .

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 8} (2 \cdot e^{2 t} + \frac{d}{d t} [8]) + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 5.4

Da $8$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 8} (2 e^{2 t} + 0) + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 5.5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.5.1

Addiere $2 e^{2 t}$ und $0$ .

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 8} (2 e^{2 t}) + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 5.5.2

Kombiniere $2$ und $\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 8}$ .

$\frac{2 t^{2}}{e^{2 t} + 8} e^{2 t} + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 5.5.3

Kombiniere $\frac{2 t^{2}}{e^{2 t} + 8}$ und $e^{2 t}$ .

$\frac{2 t^{2} e^{2 t}}{e^{2 t} + 8} + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 5.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2 t^{2} e^{2 t}}{e^{2 t} + 8} + \ln (e^{2 t} + 8) (2 t)$

Schritt 6

Um $\ln (e^{2 t} + 8) (2 t)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{e^{2 t} + 8}{e^{2 t} + 8}$ .

$\frac{2 t^{2} e^{2 t}}{e^{2 t} + 8} + \frac{\ln (e^{2 t} + 8) (2 t) (e^{2 t} + 8)}{e^{2 t} + 8}$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + \ln (e^{2 t} + 8) (2 t) (e^{2 t} + 8)}{e^{2 t} + 8}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + 2 \ln (e^{2 t} + 8) t (e^{2 t} + 8)}{e^{2 t} + 8}$

Schritt 8.1.1.2

Vereinfache $2 \ln (e^{2 t} + 8)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2}) t (e^{2 t} + 8)}{e^{2 t} + 8}$

Schritt 8.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2}) t e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2}) t \cdot 8}{e^{2 t} + 8}$

Schritt 8.1.1.4

Multipliziere $\ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2}) t \cdot 8$ .

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Schritt 8.1.1.4.1

Stelle $\ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2})$ und $8$ um.

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2}) t e^{2 t} + t \cdot (8 \cdot \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2}))}{e^{2 t} + 8}$

Schritt 8.1.1.4.2

Vereinfache $8 \cdot \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2})$ , indem du $8$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2}) t e^{2 t} + t \cdot \ln ({({(e^{2 t} + 8)}^{2})}^{8})}{e^{2 t} + 8}$

Schritt 8.1.1.5

Multipliziere die Exponenten in ${({(e^{2 t} + 8)}^{2})}^{8}$ .

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Schritt 8.1.1.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2}) t e^{2 t} + t \cdot \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2 \cdot 8})}{e^{2 t} + 8}$

Schritt 8.1.1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2}) t e^{2 t} + t \cdot \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{16})}{e^{2 t} + 8}$

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2}) t e^{2 t} + t \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{16})}{e^{2 t} + 8}$

Schritt 8.1.2

Stelle die Faktoren in $2 t^{2} e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2}) t e^{2 t} + t \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{16})$ um.

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + t e^{2 t} \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2}) + t \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{16})}{e^{2 t} + 8}$

Schritt 8.2

Stelle die Terme um.

$\frac{2 e^{2 t} t^{2} + e^{2 t} t \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2}) + t \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{16})}{e^{2 t} + 8}$