Analysis Beispiele

$g (x) = (x^{4} - 16) (x^{2} - 4)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{4} - 16$ und $g (x) = x^{2} - 4$ .

$(x^{4} - 16) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$(x^{4} - 16) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(x^{4} - 16) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]$

Schritt 2.3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x^{4} - 16) (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$(x^{4} - 16) (2 x) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]$

Schritt 2.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{4} - 16$ .

$2 \cdot (x^{4} - 16) x + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]$

Schritt 2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$2 (x^{4} - 16) x + (x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$2 (x^{4} - 16) x + (x^{2} - 4) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16])$

Schritt 2.7

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 (x^{4} - 16) x + (x^{2} - 4) (4 x^{3} + 0)$

Schritt 2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.8.1

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$2 (x^{4} - 16) x + (x^{2} - 4) (4 x^{3})$

Schritt 2.8.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{2} - 4$ .

$2 (x^{4} - 16) x + 4 \cdot (x^{2} - 4) x^{3}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x^{4} + 2 \cdot - 16) x + 4 (x^{2} - 4) x^{3}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{4} x + 2 \cdot - 16 x + 4 (x^{2} - 4) x^{3}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{4} x + 2 \cdot - 16 x + (4 x^{2} + 4 \cdot - 4) x^{3}$

Schritt 3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{4} x + 2 \cdot - 16 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 \cdot - 4 x^{3}$

Schritt 3.5

Vereine die Terme

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Schritt 3.5.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 (x^{1} x^{4}) + 2 \cdot - 16 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 \cdot - 4 x^{3}$

Schritt 3.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{1 + 4} + 2 \cdot - 16 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 \cdot - 4 x^{3}$

Schritt 3.5.3

Addiere $1$ und $4$ .

$2 x^{5} + 2 \cdot - 16 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 \cdot - 4 x^{3}$

Schritt 3.5.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 16$ .

$2 x^{5} - 32 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 \cdot - 4 x^{3}$

Schritt 3.5.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.5.1

Bewege $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 32 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 \cdot - 4 x^{3}$

Schritt 3.5.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{5} - 32 x + 4 x^{3 + 2} + 4 \cdot - 4 x^{3}$

Schritt 3.5.5.3

Addiere $3$ und $2$ .

$2 x^{5} - 32 x + 4 x^{5} + 4 \cdot - 4 x^{3}$

Schritt 3.5.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$2 x^{5} - 32 x + 4 x^{5} - 16 x^{3}$

Schritt 3.5.7

Addiere $2 x^{5}$ und $4 x^{5}$ .

$6 x^{5} - 32 x - 16 x^{3}$

Schritt 3.6

Stelle die Terme um.

$6 x^{5} - 16 x^{3} - 32 x$