Analysis Beispiele

$g (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{5}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} + 1$ und $g (x) = x^{5}$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{5} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{5} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{5} (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{x^{5} (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 3

Multipliziere $x^{5}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Bewege $x$ .

$\frac{x \cdot x^{5} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{5}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{1} x^{5} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{1 + 5} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 3.3

Addiere $1$ und $5$ .

$\frac{x^{6} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{6}$ .

$\frac{2 \cdot x^{6} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{2 x^{6} - (x^{2} + 1) (5 x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 6

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{6} - 5 (x^{2} + 1) x^{4}}{x^{10}}$

Schritt 6.2

Faktorisiere $x^{4}$ aus $2 x^{6} - 5 (x^{2} + 1) x^{4}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $2 x^{6}$ heraus.

$\frac{x^{4} (2 x^{2}) - 5 (x^{2} + 1) x^{4}}{x^{10}}$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $x^{4}$ aus $- 5 (x^{2} + 1) x^{4}$ heraus.

$\frac{x^{4} (2 x^{2}) + x^{4} (- 5 (x^{2} + 1))}{x^{10}}$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{4} (2 x^{2}) + x^{4} (- 5 (x^{2} + 1))$ heraus.

$\frac{x^{4} (2 x^{2} - 5 (x^{2} + 1))}{x^{10}}$

Schritt 7

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{10}$ heraus.

$\frac{x^{4} (2 x^{2} - 5 (x^{2} + 1))}{x^{4} x^{6}}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{4} (2 x^{2} - 5 (x^{2} + 1))}{x^{4} x^{6}}$

Schritt 7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x^{2} - 5 (x^{2} + 1)}{x^{6}}$

Schritt 8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} - 5 x^{2} - 5 \cdot 1}{x^{6}}$

Schritt 8.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 x^{2} - 5}{x^{6}}$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $5 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 5}{x^{6}}$

Schritt 8.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$\frac{- (3 x^{2}) - 5}{x^{6}}$

Schritt 8.4

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$\frac{- (3 x^{2}) - 1 (5)}{x^{6}}$

Schritt 8.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2}) - 1 (5)$ heraus.

$\frac{- (3 x^{2} + 5)}{x^{6}}$

Schritt 8.6

Schreibe $- (3 x^{2} + 5)$ als $- 1 (3 x^{2} + 5)$ um.

$\frac{- 1 (3 x^{2} + 5)}{x^{6}}$

Schritt 8.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 x^{2} + 5}{x^{6}}$