Analysis Beispiele

$g (x) = e^{x} \ln (3 x + 11)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \ln (3 x + 11)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 11)] + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 3 x + 11$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x + 11$ .

$e^{x} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x + 11]) + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$e^{x} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x + 11]) + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x + 11$ .

$e^{x} (\frac{1}{3 x + 11} \frac{d}{d x} [3 x + 11]) + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{3 x + 11}$ und $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{3 x + 11} \frac{d}{d x} [3 x + 11] + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 11$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{e^{x}}{3 x + 11} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [11]) + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{x}}{3 x + 11} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11]) + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{e^{x}}{3 x + 11} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11]) + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{e^{x}}{3 x + 11} (3 + \frac{d}{d x} [11]) + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 3.6

Da $11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $11$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{e^{x}}{3 x + 11} (3 + 0) + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 3.7

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{e^{x}}{3 x + 11} \cdot 3 + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 3.7.2

Kombiniere $\frac{e^{x}}{3 x + 11}$ und $3$ .

$\frac{e^{x} \cdot 3}{3 x + 11} + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 3.7.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{x}$ .

$\frac{3 \cdot e^{x}}{3 x + 11} + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{3 e^{x}}{3 x + 11} + \ln (3 x + 11) e^{x}$

Schritt 5

Um $\ln (3 x + 11) e^{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 x + 11}{3 x + 11}$ .

$\frac{3 e^{x}}{3 x + 11} + \frac{\ln (3 x + 11) e^{x} (3 x + 11)}{3 x + 11}$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 e^{x} + \ln (3 x + 11) e^{x} (3 x + 11)}{3 x + 11}$

Schritt 7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 e^{x} + \ln (3 x + 11) e^{x} (3 x) + \ln (3 x + 11) e^{x} \cdot 11}{3 x + 11}$

Schritt 7.1.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 e^{x} + 3 \ln (3 x + 11) e^{x} x + \ln (3 x + 11) e^{x} \cdot 11}{3 x + 11}$

Schritt 7.1.1.3

Vereinfache $11 \ln (3 x + 11)$ , indem du $11$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{3 e^{x} + 3 \ln (3 x + 11) e^{x} x + \ln ({(3 x + 11)}^{11}) e^{x}}{3 x + 11}$

Schritt 7.1.1.4

Vereinfache $3 \ln (3 x + 11)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{3 e^{x} + \ln ({(3 x + 11)}^{3}) e^{x} x + \ln ({(3 x + 11)}^{11}) e^{x}}{3 x + 11}$

Schritt 7.1.2

Stelle die Faktoren in $3 e^{x} + \ln ({(3 x + 11)}^{3}) e^{x} x + \ln ({(3 x + 11)}^{11}) e^{x}$ um.

$\frac{3 e^{x} + x e^{x} \ln ({(3 x + 11)}^{3}) + e^{x} \ln ({(3 x + 11)}^{11})}{3 x + 11}$

Schritt 7.2

Stelle die Terme um.

$\frac{e^{x} x \ln ({(3 x + 11)}^{3}) + e^{x} \ln ({(3 x + 11)}^{11}) + 3 e^{x}}{3 x + 11}$