Analysis Beispiele

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 1

Schreibe das Integral als Grenzwert, wenn sich $t$ an $\infty$ annähert.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{3 \cdot - 1} d x$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{- 3} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{t}$

Schritt 4

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.1

Berechne $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ bei $t$ und $1$ .

$lim_{t \to \infty} (- \frac{1}{2} t^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $t^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t^{- 2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

Schritt 4.2.2

Bringe $t^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2 t^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

Schritt 4.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2 t^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 4.2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2 t^{2}} + \frac{1}{2}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $\infty$ annähert.

$- lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 t^{2}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2}$

Schritt 5.1.2

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} \frac{1}{t^{2}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2}$

Schritt 5.2

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{t^{2}}$ $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2}$

Schritt 5.3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.3.1

Berechne den Grenzwert von $\frac{1}{2}$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $\infty$ annähert.

$- \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.3.2.1

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$0 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.2.2

Addiere $0$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{2}$

Dezimalform:

$0.5$