Analysis Beispiele

$f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{4}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 16$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $18 x^{2}$ nach $x$ gleich $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 18 (2 x)$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $18$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 36 x$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 x^{3} - 48 x^{2} + 36 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x^{3}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $- 48$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 48 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (36 x)$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 48$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} (36 x)$

Schritt 1.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [36 x]$ .

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Schritt 1.2.4.1

Da $36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $36 x$ nach $x$ gleich $36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + 36 \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + 36 \cdot 1$

Schritt 1.2.4.3

Mutltipliziere $36$ mit $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + 36$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $36 x^{2} - 96 x + 36$ .

$36 x^{2} - 96 x + 36$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $36 x^{2} - 96 x + 36 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$36 x^{2} - 96 x + 36 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $12$ aus $36 x^{2} - 96 x + 36$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $12$ aus $36 x^{2}$ heraus.

$12 (3 x^{2}) - 96 x + 36 = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $12$ aus $- 96 x$ heraus.

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 8 x) + 36 = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $12$ aus $36$ heraus.

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 8 x) + 12 (3) = 0$

Schritt 2.2.4

Faktorisiere $12$ aus $12 (3 x^{2}) + 12 (- 8 x)$ heraus.

$12 (3 x^{2} - 8 x) + 12 (3) = 0$

Schritt 2.2.5

Faktorisiere $12$ aus $12 (3 x^{2} - 8 x) + 12 (3)$ heraus.

$12 (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $12 (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$ durch $12$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $12 (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$ durch $12$ .

$\frac{12 (3 x^{2} - 8 x + 3)}{12} = \frac{0}{12}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 (3 x^{2} - 8 x + 3)}{12} = \frac{0}{12}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $3 x^{2} - 8 x + 3$ durch $1$ .

$3 x^{2} - 8 x + 3 = \frac{0}{12}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $12$ .

$3 x^{2} - 8 x + 3 = 0$

Schritt 2.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.5

Setze die Werte $a = 3$ , $b = - 8$ und $c = 3$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 3)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 3$ .

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Schritt 2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.3

Subtrahiere $36$ von $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.4

Schreibe $28$ als $2^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 2.6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Schritt 2.6.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

Schritt 2.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 3$ .

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Schritt 2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.3

Subtrahiere $36$ von $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.4

Schreibe $28$ als $2^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 2.7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Schritt 2.7.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

Schritt 2.7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{4 + \sqrt{7}}{3}$

Schritt 2.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 3$ .

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Schritt 2.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.1.3

Subtrahiere $36$ von $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.1.4

Schreibe $28$ als $2^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 2.8.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Schritt 2.8.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

Schritt 2.8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

Schritt 2.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $2.21525043$ in $f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.21525043$ .

$f (2.21525043) = 3 {(2.21525043)}^{4} - 16 {(2.21525043)}^{3} + 18 {(2.21525043)}^{2}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Potenziere $2.21525043$ mit $4$ .

$f (2.21525043) = 3 \cdot 24.08193188 - 16 {(2.21525043)}^{3} + 18 {(2.21525043)}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $24.08193188$ .

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 16 {(2.21525043)}^{3} + 18 {(2.21525043)}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.3

Potenziere $2.21525043$ mit $3$ .

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 16 \cdot 10.87097489 + 18 {(2.21525043)}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.4

Mutltipliziere $- 16$ mit $10.87097489$ .

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 173.93559828 + 18 {(2.21525043)}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.5

Potenziere $2.21525043$ mit $2$ .

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 173.93559828 + 18 \cdot 4.90733449$

Schritt 3.1.2.1.6

Mutltipliziere $18$ mit $4.90733449$ .

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 173.93559828 + 88.33202097$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.1.2.2.1

Subtrahiere $173.93559828$ von $72.24579564$ .

$f (2.21525043) = - 101.68980263 + 88.33202097$

Schritt 3.1.2.2.2

Addiere $- 101.68980263$ und $88.33202097$ .

$f (2.21525043) = - 13.35778166$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 13.35778166$ .

$- 13.35778166$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $2.21525043$ in $f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ ermittelt werden kann, ist $(2.21525043, - 13.35778166)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(2.21525043, - 13.35778166)$

Schritt 3.3

Ersetze $0.45141622$ in $f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.45141622$ .

$f (0.45141622) = 3 {(0.45141622)}^{4} - 16 {(0.45141622)}^{3} + 18 {(0.45141622)}^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Potenziere $0.45141622$ mit $4$ .

$f (0.45141622) = 3 \cdot 0.0415249 - 16 {(0.45141622)}^{3} + 18 {(0.45141622)}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0.0415249$ .

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 16 {(0.45141622)}^{3} + 18 {(0.45141622)}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.3

Potenziere $0.45141622$ mit $3$ .

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 16 \cdot 0.09198807 + 18 {(0.45141622)}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 16$ mit $0.09198807$ .

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 1.47180912 + 18 {(0.45141622)}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.5

Potenziere $0.45141622$ mit $2$ .

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 1.47180912 + 18 \cdot 0.20377661$

Schritt 3.3.2.1.6

Mutltipliziere $18$ mit $0.20377661$ .

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 1.47180912 + 3.66797902$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.3.2.2.1

Subtrahiere $1.47180912$ von $0.12457472$ .

$f (0.45141622) = - 1.34723439 + 3.66797902$

Schritt 3.3.2.2.2

Addiere $- 1.34723439$ und $3.66797902$ .

$f (0.45141622) = 2.32074462$

Schritt 3.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $2.32074462$ .

$2.32074462$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0.45141622$ in $f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ ermittelt werden kann, ist $(0.45141622, 2.32074462)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0.45141622, 2.32074462)$

Schritt 3.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(2.21525043, - 13.35778166), (0.45141622, 2.32074462)$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, 0.45141622) \cup (0.45141622, 2.21525043) \cup (2.21525043, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0.45141622)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.35141622$ .

$f'' (0.35141622) = 36 {(0.35141622)}^{2} - 96 \cdot 0.35141622 + 36$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $0.35141622$ mit $2$ .

$f'' (0.35141622) = 36 \cdot 0.12349336 - 96 \cdot 0.35141622 + 36$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $36$ mit $0.12349336$ .

$f'' (0.35141622) = 4.44576119 - 96 \cdot 0.35141622 + 36$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 96$ mit $0.35141622$ .

$f'' (0.35141622) = 4.44576119 - 33.73595804 + 36$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $33.73595804$ von $4.44576119$ .

$f'' (0.35141622) = - 29.29019685 + 36$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 29.29019685$ und $36$ .

$f'' (0.35141622) = 6.70980314$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $6.70980314$ .

$6.70980314$

Schritt 5.3

Bei $0.35141622$ ist die zweite Ableitung $6.70980314$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, 0.45141622)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 0.45141622)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0.45141622, 2.21525043)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.\overline{3}$ .

$f'' (1.\overline{3}) = 36 {(1.\overline{3})}^{2} - 96 \cdot 1.\overline{3} + 36$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $1.\overline{3}$ mit $2$ .

$f'' (1.\overline{3}) = 36 \cdot 1.\overline{7} - 96 \cdot 1.\overline{3} + 36$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $36$ mit $1.\overline{7}$ .

$f'' (1.\overline{3}) = 64 - 96 \cdot 1.\overline{3} + 36$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 96$ mit $1.\overline{3}$ .

$f'' (1.\overline{3}) = 64 - 128 + 36$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $128$ von $64$ .

$f'' (1.\overline{3}) = - 64 + 36$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $- 64$ und $36$ .

$f'' (1.\overline{3}) = - 28$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 28$ .

$- 28$

Schritt 6.3

Bei $1.\overline{3}$ , die zweite Ableitung ist $- 28$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(0.45141622, 2.21525043)$

Abfallend im Intervall $(0.45141622, 2.21525043)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(2.21525043, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.31525043$ .

$f'' (2.31525043) = 36 {(2.31525043)}^{2} - 96 \cdot 2.31525043 + 36$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $2.31525043$ mit $2$ .

$f'' (2.31525043) = 36 \cdot 5.36038458 - 96 \cdot 2.31525043 + 36$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $36$ mit $5.36038458$ .

$f'' (2.31525043) = 192.9738451 - 96 \cdot 2.31525043 + 36$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $- 96$ mit $2.31525043$ .

$f'' (2.31525043) = 192.9738451 - 222.26404195 + 36$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 7.2.2.1

Subtrahiere $222.26404195$ von $192.9738451$ .

$f'' (2.31525043) = - 29.29019685 + 36$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $- 29.29019685$ und $36$ .

$f'' (2.31525043) = 6.70980314$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $6.70980314$ .

$6.70980314$

Schritt 7.3

Bei $2.31525043$ ist die zweite Ableitung $6.70980314$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(2.21525043, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(2.21525043, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0.45141622, 2.32074462), (2.21525043, - 13.35778166)$ .

$(0.45141622, 2.32074462), (2.21525043, - 13.35778166)$

Schritt 9