Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (x) + 2 e^{x} - 3 x^{2}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\ln (x) + 2 e^{x} - 3 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Schritt 2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 e^{x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1}{x} + 2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{x} + 2 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Schritt 4.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{x} + 2 e^{x} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{x} + 2 e^{x} - 3 (2 x)$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$\frac{1}{x} + 2 e^{x} - 6 x$

Schritt 5

Stelle die Terme um.

$- 6 x + \frac{1}{x} + 2 e^{x}$