Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (\sin (x) + \cos (x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x) + \cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x) + \cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (x) + \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 4

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)} (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)} (\cos (x) - \sin (x))$ um.

$(\cos (x) - \sin (x)) \frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) \frac{1}{\sin (x) + \cos (x)} - \sin (x) \frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$

Schritt 5.3

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) + \cos (x)} - \sin (x) \frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$

Schritt 5.4

Kombiniere $\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$ und $\sin (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) + \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\sin (x) + \cos (x)}$

Schritt 5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\sin (x) + \cos (x)}$