Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{c + k e^{c}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{c + k e^{c}}$ als ${(c + k e^{c})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d c} [{(c + k e^{c})}^{- 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d c} [f (g (c))]$ ist $f' (g (c)) g' (c)$ , mit $f (c) = c^{- 1}$ und $g (c) = c + k e^{c}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $c + k e^{c}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d c} [c + k e^{c}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d c} [c + k e^{c}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $c + k e^{c}$ .

$- {(c + k e^{c})}^{- 2} \frac{d}{d c} [c + k e^{c}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $c + k e^{c}$ nach $c$ $\frac{d}{d c} [c] + \frac{d}{d c} [k e^{c}]$ .

$- {(c + k e^{c})}^{- 2} (\frac{d}{d c} [c] + \frac{d}{d c} [k e^{c}])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ gleich $n c^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- {(c + k e^{c})}^{- 2} (1 + \frac{d}{d c} [k e^{c}])$

Schritt 3.3

Da $k$ konstant bezüglich $c$ ist, ist die Ableitung von $k e^{c}$ nach $c$ gleich $k \frac{d}{d c} [e^{c}]$ .

$- {(c + k e^{c})}^{- 2} (1 + k \frac{d}{d c} [e^{c}])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d c} [a^{c}]$ gleich $a^{c} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- {(c + k e^{c})}^{- 2} (1 + k e^{c})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(c + k e^{c})}^{2}} (1 + k e^{c})$

Schritt 5.2

Stelle die Faktoren von $- \frac{1}{{(c + k e^{c})}^{2}} (1 + k e^{c})$ um.

$- (1 + k e^{c}) \frac{1}{{(c + k e^{c})}^{2}}$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(- 1 \cdot 1 - (k e^{c})) \frac{1}{{(c + k e^{c})}^{2}}$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(- 1 - (k e^{c})) \frac{1}{{(c + k e^{c})}^{2}}$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $- 1 - k e^{c}$ mit $\frac{1}{{(c + k e^{c})}^{2}}$ .

$\frac{- 1 - k e^{c}}{{(c + k e^{c})}^{2}}$

Schritt 5.6

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- 1 (1) - k e^{c}}{{(c + k e^{c})}^{2}}$

Schritt 5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- k e^{c}$ heraus.

$\frac{- 1 (1) - (k e^{c})}{{(c + k e^{c})}^{2}}$

Schritt 5.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (k e^{c})$ heraus.

$\frac{- 1 (1 + k e^{c})}{{(c + k e^{c})}^{2}}$

Schritt 5.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1 + k e^{c}}{{(c + k e^{c})}^{2}}$