Analysis Beispiele

$\frac{1}{\sqrt{2 a x}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 a x}$ als ${(2 a x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d a} [\frac{1}{{(2 a x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 1.2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 a x$ heraus.

$\frac{d}{d a} [\frac{1}{{(2 (a x))}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 1.2.2

Wende die Produktregel auf $2 (a x)$ an.

$\frac{d}{d a} [\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(a x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 1.3

Da $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(a x)}^{\frac{1}{2}}}$ nach $a$ gleich $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [\frac{1}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [\frac{1}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 1.4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.4.1

Schreibe $\frac{1}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}$ als ${({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [{({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Schritt 1.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [{(a x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Schritt 1.4.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [{(a x)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Schritt 1.4.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [{(a x)}^{- \frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ ist $f' (g (a)) g' (a)$ , mit $f (a) = a^{- \frac{1}{2}}$ und $g (a) = a x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $a x$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d a} [a x])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d a} [a x])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $a x$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d a} [a x])$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d a} [a x])$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d a} [a x])$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d a} [a x])$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d a} [a x])$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d a} [a x])$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d a} [a x])$

Schritt 8

Kombiniere ${(a x)}^{- \frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{{(a x)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d a} [a x])$

Schritt 9

Bringe ${(a x)}^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x])$

Schritt 10

Mutltipliziere $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{2 {(a x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} (2 {(a x)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d a} [a x]$

Schritt 11

Multipliziere $2^{\frac{1}{2}}$ mit $2$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.1

Bewege $2$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x]$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $2$ mit $2^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 11.2.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x]$

Schritt 11.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{2^{1 + \frac{1}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x]$

Schritt 11.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x]$

Schritt 11.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2^{\frac{2 + 1}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x]$

Schritt 11.5

Addiere $2$ und $1$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x]$

Schritt 12

Da $x$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $a x$ nach $a$ gleich $x \frac{d}{d a} [a]$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} (x \frac{d}{d a} [a])$

Schritt 13

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2^{\frac{3}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{x}{2^{\frac{3}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a]$

Schritt 14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ gleich $n a^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{x}{2^{\frac{3}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

Schritt 15

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{x}{2^{\frac{3}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 16

Vereinfache.

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Schritt 16.1

Wende die Produktregel auf $a x$ an.

$- \frac{x}{2^{\frac{3}{2}} (a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 16.2

Vereine die Terme

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Schritt 16.2.1

Bringe $x^{1}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}} x^{- 1}}$

Schritt 16.2.2

Multipliziere $x^{\frac{3}{2}}$ mit $x^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 16.2.2.1

Bewege $x^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} (x^{- 1} x^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 16.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{- 1 + \frac{3}{2}}}$

Schritt 16.2.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}$

Schritt 16.2.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}$

Schritt 16.2.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}}$

Schritt 16.2.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.2.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{- 2 + 3}{2}}}$

Schritt 16.2.2.6.2

Addiere $- 2$ und $3$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$