Analysis Beispiele

$x e^{a x}$

Schritt 1

Da $x$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $x e^{a x}$ nach $a$ gleich $x \frac{d}{d a} [e^{a x}]$ .

$x \frac{d}{d a} [e^{a x}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ ist $f' (g (a)) g' (a)$ , mit $f (a) = e^{a}$ und $g (a) = a x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $a x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d a} [a x])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d a} [a x])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $a x$ .

$x (e^{a x} \frac{d}{d a} [a x])$

Schritt 3

Da $x$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $a x$ nach $a$ gleich $x \frac{d}{d a} [a]$ .

$x (e^{a x} (x \frac{d}{d a} [a]))$

Schritt 4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x (e^{a x} (\frac{d}{d a} [a]))$

Schritt 5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x^{1} (e^{a x} (\frac{d}{d a} [a]))$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{1 + 1} (e^{a x} (\frac{d}{d a} [a]))$

Schritt 7

Addiere $1$ und $1$ .

$x^{2} (e^{a x} (\frac{d}{d a} [a]))$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ gleich $n a^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} (e^{a x} \cdot 1)$

Schritt 9

Mutltipliziere $e^{a x}$ mit $1$ .

$x^{2} e^{a x}$