Analysis Beispiele

$(- 3 k) {(\frac{- 2 k^{- 5}}{k^{3}})}^{- 4}$

Schritt 1

Bringe $k^{- 5}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d k} [- 3 k {(\frac{- 2}{k^{3} k^{5}})}^{- 4}]$

Schritt 2

Multipliziere $k^{3}$ mit $k^{5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d k} [- 3 k {(\frac{- 2}{k^{3 + 5}})}^{- 4}]$

Schritt 2.2

Addiere $3$ und $5$ .

$\frac{d}{d k} [- 3 k {(\frac{- 2}{k^{8}})}^{- 4}]$

Schritt 3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{d k} [- 3 k {(- \frac{2}{k^{8}})}^{- 4}]$

Schritt 4

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{2}{k^{8}}$ heraus.

$\frac{d}{d k} [- 3 k {(- (\frac{2}{k^{8}}))}^{- 4}]$

Schritt 5

Wende die Produktregel auf $- (\frac{2}{k^{8}})$ an.

$\frac{d}{d k} [- 3 k ({(- 1)}^{- 4} {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})]$

Schritt 6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d k} [- 3 k (\frac{1}{{(- 1)}^{4}} {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})]$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 7.1

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{d}{d k} [- 3 k (\frac{1}{1} {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})]$

Schritt 7.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d k} [- 3 k (\frac{1}{1} {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})]$

Schritt 7.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d k} [- 3 k (1 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})]$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere ${(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}$ mit $1$ .

$\frac{d}{d k} [- 3 k {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}]$

Schritt 7.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $k$ ist, ist die Ableitung von $- 3 k {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}$ nach $k$ gleich $- 3 \frac{d}{d k} [k {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}]$ .

$- 3 \frac{d}{d k} [k {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}]$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d k} [f (k) g (k)]$ gleich $f (k) \frac{d}{d k} [g (k)] + g (k) \frac{d}{d k} [f (k)]$ ist mit $f (k) = k$ und $g (k) = {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}$ .

$- 3 (k \frac{d}{d k} [{(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}] + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ ist $f' (g (k)) g' (k)$ , mit $f (k) = k^{- 4}$ und $g (k) = \frac{2}{k^{8}}$ .

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Schritt 9.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{2}{k^{8}}$ .

$- 3 (k (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d k} [\frac{2}{k^{8}}]) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Schritt 9.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 4$ .

$- 3 (k (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d k} [\frac{2}{k^{8}}]) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Schritt 9.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{2}{k^{8}}$ .

$- 3 (k (- 4 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} \frac{d}{d k} [\frac{2}{k^{8}}]) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Schritt 10

Differenziere.

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Schritt 10.1

Da $2$ konstant bezüglich $k$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{k^{8}}$ nach $k$ gleich $2 \frac{d}{d k} [\frac{1}{k^{8}}]$ .

$- 3 (k (- 4 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} (2 \frac{d}{d k} [\frac{1}{k^{8}}])) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Schritt 10.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$- 3 (k (- 8 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} \frac{d}{d k} [\frac{1}{k^{8}}]) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Schritt 10.2.2

Schreibe $\frac{1}{k^{8}}$ als ${(k^{8})}^{- 1}$ um.

$- 3 (k (- 8 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} \frac{d}{d k} [{(k^{8})}^{- 1}]) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Schritt 10.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(k^{8})}^{- 1}$ .

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Schritt 10.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 (k (- 8 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} \frac{d}{d k} [k^{8 \cdot - 1}]) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Schritt 10.2.3.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$- 3 (k (- 8 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} \frac{d}{d k} [k^{- 8}]) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Schritt 10.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ gleich $n k^{n - 1}$ ist mit $n = - 8$ .

$- 3 (k (- 8 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} (- 8 k^{- 9})) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Schritt 10.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 8$ .

$- 3 (k (64 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} k^{- 9}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Schritt 11

Potenziere $k$ mit $1$ .

$- 3 (k^{- 9} k^{1} (64 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Schritt 12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 3 (k^{- 9 + 1} (64 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Schritt 13

Addiere $- 9$ und $1$ .

$- 3 (k^{- 8} (64 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Schritt 14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ gleich $n k^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 (k^{- 8} (64 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \cdot 1)$

Schritt 15

Mutltipliziere ${(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}$ mit $1$ .

$- 3 (k^{- 8} (64 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})$

Schritt 16

Vereinfache.

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Schritt 16.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})$

Schritt 16.2

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 {(\frac{k^{8}}{2})}^{5}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})$

Schritt 16.3

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 {(\frac{k^{8}}{2})}^{5}) + {(\frac{k^{8}}{2})}^{4})$

Schritt 16.4

Wende die Produktregel auf $\frac{k^{8}}{2}$ an.

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 \frac{{(k^{8})}^{5}}{2^{5}}) + {(\frac{k^{8}}{2})}^{4})$

Schritt 16.5

Wende die Produktregel auf $\frac{k^{8}}{2}$ an.

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 \frac{{(k^{8})}^{5}}{2^{5}}) + \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}})$

Schritt 16.6

Wende das Distributivgesetz an.

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 \frac{{(k^{8})}^{5}}{2^{5}})) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Schritt 16.7

Vereine die Terme

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Schritt 16.7.1

Multipliziere die Exponenten in ${(k^{8})}^{5}$ .

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Schritt 16.7.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 \frac{k^{8 \cdot 5}}{2^{5}})) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Schritt 16.7.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $5$ .

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 \frac{k^{40}}{2^{5}})) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Schritt 16.7.2

Potenziere $2$ mit $5$ .

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 \frac{k^{40}}{32})) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Schritt 16.7.3

Kombiniere $64$ und $\frac{k^{40}}{32}$ .

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} \cdot \frac{64 k^{40}}{32}) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Schritt 16.7.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $64$ und $32$ .

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Schritt 16.7.4.1

Faktorisiere $32$ aus $64 k^{40}$ heraus.

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} \cdot \frac{32 (2 k^{40})}{32}) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Schritt 16.7.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 16.7.4.2.1

Faktorisiere $32$ aus $32$ heraus.

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} \cdot \frac{32 (2 k^{40})}{32 (1)}) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Schritt 16.7.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} \cdot \frac{32 (2 k^{40})}{32 \cdot 1}) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Schritt 16.7.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} \cdot \frac{2 k^{40}}{1}) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Schritt 16.7.4.2.4

Dividiere $2 k^{40}$ durch $1$ .

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (2 k^{40})) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Schritt 16.7.5

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{k^{8}}$ .

$- 3 (\frac{2}{k^{8}} k^{40}) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Schritt 16.7.6

Kombiniere $\frac{2}{k^{8}}$ und $k^{40}$ .

$- 3 \frac{2 k^{40}}{k^{8}} - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Schritt 16.7.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $k^{40}$ und $k^{8}$ .

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Schritt 16.7.7.1

Faktorisiere $k^{8}$ aus $2 k^{40}$ heraus.

$- 3 \frac{k^{8} (2 k^{32})}{k^{8}} - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Schritt 16.7.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 16.7.7.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$- 3 \frac{k^{8} (2 k^{32})}{k^{8} \cdot 1} - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Schritt 16.7.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 3 \frac{k^{8} (2 k^{32})}{k^{8} \cdot 1} - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Schritt 16.7.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 3 \frac{2 k^{32}}{1} - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Schritt 16.7.7.2.4

Dividiere $2 k^{32}$ durch $1$ .

$- 3 (2 k^{32}) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Schritt 16.7.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$- 6 k^{32} - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Schritt 16.7.9

Multipliziere die Exponenten in ${(k^{8})}^{4}$ .

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Schritt 16.7.9.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 k^{32} - 3 \frac{k^{8 \cdot 4}}{2^{4}}$

Schritt 16.7.9.2

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$- 6 k^{32} - 3 \frac{k^{32}}{2^{4}}$

Schritt 16.7.10

Potenziere $2$ mit $4$ .

$- 6 k^{32} - 3 \frac{k^{32}}{16}$

Schritt 16.7.11

Kombiniere $- 3$ und $\frac{k^{32}}{16}$ .

$- 6 k^{32} + \frac{- 3 k^{32}}{16}$

Schritt 16.7.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 6 k^{32} - \frac{3 k^{32}}{16}$

Schritt 16.7.13

Um $- 6 k^{32}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$- 6 k^{32} \cdot \frac{16}{16} - \frac{3 k^{32}}{16}$

Schritt 16.7.14

Kombiniere $- 6 k^{32}$ und $\frac{16}{16}$ .

$\frac{- 6 k^{32} \cdot 16}{16} - \frac{3 k^{32}}{16}$

Schritt 16.7.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 6 k^{32} \cdot 16 - 3 k^{32}}{16}$

Schritt 16.7.16

Mutltipliziere $16$ mit $- 6$ .

$\frac{- 96 k^{32} - 3 k^{32}}{16}$

Schritt 16.7.17

Subtrahiere $3 k^{32}$ von $- 96 k^{32}$ .

$\frac{- 99 k^{32}}{16}$

Schritt 16.7.18

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{99 k^{32}}{16}$