Analysis Beispiele

$\frac{8 (4 - 4 h + h^{2}) - 32 + 5}{h}$

Schritt 1

Addiere $- 32$ und $5$ .

$\frac{d}{d h} [\frac{8 (4 - 4 h + h^{2}) - 27}{h}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [\frac{f (h)}{g (h)}]$ gleich $\frac{g (h) \frac{d}{d h} [f (h)] - f (h) \frac{d}{d h} [g (h)]}{{g (h)}^{2}}$ ist mit $f (h) = 8 (4 - 4 h + h^{2}) - 27$ und $g (h) = h$ .

$\frac{h \frac{d}{d h} [8 (4 - 4 h + h^{2}) - 27] - (8 (4 - 4 h + h^{2}) - 27) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 (4 - 4 h + h^{2}) - 27$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [8 (4 - 4 h + h^{2})] + \frac{d}{d h} [- 27]$ .

$\frac{h (\frac{d}{d h} [8 (4 - 4 h + h^{2})] + \frac{d}{d h} [- 27]) - (8 (4 - 4 h + h^{2}) - 27) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Schritt 3.2

Da $8$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $8 (4 - 4 h + h^{2})$ nach $h$ gleich $8 \frac{d}{d h} [4 - 4 h + h^{2}]$ .

$\frac{h (8 \frac{d}{d h} [4 - 4 h + h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 27]) - (8 (4 - 4 h + h^{2}) - 27) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - 4 h + h^{2}$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- 4 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]$ .

$\frac{h (8 (\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- 4 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 27]) - (8 (4 - 4 h + h^{2}) - 27) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Schritt 3.4

Da $4$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$\frac{h (8 (0 + \frac{d}{d h} [- 4 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 27]) - (8 (4 - 4 h + h^{2}) - 27) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Schritt 3.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d h} [- 4 h]$ .

$\frac{h (8 (\frac{d}{d h} [- 4 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 27]) - (8 (4 - 4 h + h^{2}) - 27) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Schritt 3.6

Da $- 4$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $- 4 h$ nach $h$ gleich $- 4 \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{h (8 (- 4 \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 27]) - (8 (4 - 4 h + h^{2}) - 27) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{h (8 (- 4 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 27]) - (8 (4 - 4 h + h^{2}) - 27) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$\frac{h (8 (- 4 + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 27]) - (8 (4 - 4 h + h^{2}) - 27) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Schritt 3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{h (8 (- 4 + 2 h) + \frac{d}{d h} [- 27]) - (8 (4 - 4 h + h^{2}) - 27) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Schritt 3.10

Da $- 27$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $- 27$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$\frac{h (8 (- 4 + 2 h) + 0) - (8 (4 - 4 h + h^{2}) - 27) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Schritt 3.11

Addiere $8 (- 4 + 2 h)$ und $0$ .

$\frac{h (8 (- 4 + 2 h)) - (8 (4 - 4 h + h^{2}) - 27) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Schritt 3.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{h (8 (- 4 + 2 h)) - (8 (4 - 4 h + h^{2}) - 27) \cdot 1}{h^{2}}$

Schritt 3.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{h (8 (- 4 + 2 h)) - (8 (4 - 4 h + h^{2}) - 27)}{h^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{h (8 \cdot - 4 + 8 (2 h)) - (8 (4 - 4 h + h^{2}) - 27)}{h^{2}}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{h (8 \cdot - 4) + h (8 (2 h)) - (8 (4 - 4 h + h^{2}) - 27)}{h^{2}}$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{h (8 \cdot - 4) + h (8 (2 h)) - (8 \cdot 4 + 8 (- 4 h) + 8 h^{2} - 27)}{h^{2}}$

Schritt 4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{h (8 \cdot - 4) + h (8 (2 h)) - (8 \cdot 4) - (8 (- 4 h)) - (8 h^{2}) - - 27}{h^{2}}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 4$ .

$\frac{h \cdot - 32 + h (8 (2 h)) - (8 \cdot 4) - (8 (- 4 h)) - (8 h^{2}) - - 27}{h^{2}}$

Schritt 4.5.1.2

Bringe $- 32$ auf die linke Seite von $h$ .

$\frac{- 32 \cdot h + h (8 (2 h)) - (8 \cdot 4) - (8 (- 4 h)) - (8 h^{2}) - - 27}{h^{2}}$

Schritt 4.5.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 32 h + 8 \cdot 2 h \cdot h - (8 \cdot 4) - (8 (- 4 h)) - (8 h^{2}) - - 27}{h^{2}}$

Schritt 4.5.1.4

Multipliziere $h$ mit $h$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.5.1.4.1

Bewege $h$ .

$\frac{- 32 h + 8 \cdot 2 (h \cdot h) - (8 \cdot 4) - (8 (- 4 h)) - (8 h^{2}) - - 27}{h^{2}}$

Schritt 4.5.1.4.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$\frac{- 32 h + 8 \cdot 2 h^{2} - (8 \cdot 4) - (8 (- 4 h)) - (8 h^{2}) - - 27}{h^{2}}$

Schritt 4.5.1.5

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$\frac{- 32 h + 16 h^{2} - (8 \cdot 4) - (8 (- 4 h)) - (8 h^{2}) - - 27}{h^{2}}$

Schritt 4.5.1.6

Multipliziere $- (8 \cdot 4)$ .

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Schritt 4.5.1.6.1

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$\frac{- 32 h + 16 h^{2} - 1 \cdot 32 - (8 (- 4 h)) - (8 h^{2}) - - 27}{h^{2}}$

Schritt 4.5.1.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $32$ .

$\frac{- 32 h + 16 h^{2} - 32 - (8 (- 4 h)) - (8 h^{2}) - - 27}{h^{2}}$

Schritt 4.5.1.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$\frac{- 32 h + 16 h^{2} - 32 - (- 32 h) - (8 h^{2}) - - 27}{h^{2}}$

Schritt 4.5.1.8

Mutltipliziere $- 32$ mit $- 1$ .

$\frac{- 32 h + 16 h^{2} - 32 + 32 h - (8 h^{2}) - - 27}{h^{2}}$

Schritt 4.5.1.9

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$\frac{- 32 h + 16 h^{2} - 32 + 32 h - 8 h^{2} - - 27}{h^{2}}$

Schritt 4.5.1.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 27$ .

$\frac{- 32 h + 16 h^{2} - 32 + 32 h - 8 h^{2} + 27}{h^{2}}$

Schritt 4.5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 32 h + 16 h^{2} - 32 + 32 h - 8 h^{2} + 27$ .

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Schritt 4.5.2.1

Addiere $- 32 h$ und $32 h$ .

$\frac{16 h^{2} - 32 + 0 - 8 h^{2} + 27}{h^{2}}$

Schritt 4.5.2.2

Addiere $16 h^{2} - 32$ und $0$ .

$\frac{16 h^{2} - 32 - 8 h^{2} + 27}{h^{2}}$

Schritt 4.5.3

Subtrahiere $8 h^{2}$ von $16 h^{2}$ .

$\frac{8 h^{2} - 32 + 27}{h^{2}}$

Schritt 4.5.4

Addiere $- 32$ und $27$ .

$\frac{8 h^{2} - 5}{h^{2}}$