Analysis Beispiele

${(\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}})}^{2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d n} [f (g (n))]$ ist $f' (g (n)) g' (n)$ , mit $f (n) = n^{2}$ und $g (n) = \frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}$ .

$2 \frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}$ .

$\frac{2 n (n + 1)}{2 n^{4}} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}]$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 n (n + 1)}{2 n^{4}} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}]$

Schritt 2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{n (n + 1)}{n^{4}} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}]$

Schritt 2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $n$ ist, ist die Ableitung von $\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}$ nach $n$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{n^{4}}]$ .

$\frac{n (n + 1)}{n^{4}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{n^{4}}])$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{n (n + 1)}{n^{4}}$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{n^{4}}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d n} [\frac{f (n)}{g (n)}]$ gleich $\frac{g (n) \frac{d}{d n} [f (n)] - f (n) \frac{d}{d n} [g (n)]}{{g (n)}^{2}}$ ist mit $f (n) = n (n + 1)$ und $g (n) = n^{4}$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - n (n + 1) \frac{d}{d n} [n^{4}]}{{(n^{4})}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.1

Multipliziere die Exponenten in ${(n^{4})}^{2}$ .

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Schritt 4.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - n (n + 1) \frac{d}{d n} [n^{4}]}{n^{4 \cdot 2}}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - n (n + 1) \frac{d}{d n} [n^{4}]}{n^{8}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ gleich $n \cdot n^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - n (n + 1) (4 n^{3})}{n^{8}}$

Schritt 4.3

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1) n^{3}}{n^{8}}$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $n^{3}$ aus $n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1) n^{3}$ heraus.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $n^{3}$ aus $n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)]$ heraus.

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{3} (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)]) - 4 n (n + 1) n^{3}}{n^{8}}$

Schritt 4.3.2.2

Faktorisiere $n^{3}$ aus $- 4 n (n + 1) n^{3}$ heraus.

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{3} (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)]) + n^{3} (- 4 n (n + 1))}{n^{8}}$

Schritt 4.3.2.3

Faktorisiere $n^{3}$ aus $n^{3} (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)]) + n^{3} (- 4 n (n + 1))$ heraus.

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{3} (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{n^{8}}$

Schritt 5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $n^{3}$ aus $n^{8}$ heraus.

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{3} (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{n^{3} n^{5}}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{3} (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{n^{3} n^{5}}$

Schritt 5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1)}{n^{5}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}$ mit $\frac{n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1)}{n^{5}}$ .

$\frac{n (n + 1) (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{2 n^{4} n^{5}}$

Schritt 6.2

Multipliziere $n^{4}$ mit $n^{5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.1

Bewege $n^{5}$ .

$\frac{n (n + 1) (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{2 (n^{5} n^{4})}$

Schritt 6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{n (n + 1) (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{2 n^{5 + 4}}$

Schritt 6.2.3

Addiere $5$ und $4$ .

$\frac{n (n + 1) (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{2 n^{9}}$