Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{z + k e^{z}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{z + k e^{z}}$ als ${(z + k e^{z})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d k} [{(z + k e^{z})}^{- 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ ist $f' (g (k)) g' (k)$ , mit $f (k) = k^{- 1}$ und $g (k) = z + k e^{z}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $z + k e^{z}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d k} [z + k e^{z}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d k} [z + k e^{z}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $z + k e^{z}$ .

$- {(z + k e^{z})}^{- 2} \frac{d}{d k} [z + k e^{z}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $z + k e^{z}$ nach $k$ $\frac{d}{d k} [z] + \frac{d}{d k} [k e^{z}]$ .

$- {(z + k e^{z})}^{- 2} (\frac{d}{d k} [z] + \frac{d}{d k} [k e^{z}])$

Schritt 3.2

Da $z$ konstant bezüglich $k$ ist, ist die Ableitung von $z$ bezüglich $k$ gleich $0$ .

$- {(z + k e^{z})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d k} [k e^{z}])$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d k} [k e^{z}]$ .

$- {(z + k e^{z})}^{- 2} \frac{d}{d k} [k e^{z}]$

Schritt 3.4

Da $e^{z}$ konstant bezüglich $k$ ist, ist die Ableitung von $k e^{z}$ nach $k$ gleich $e^{z} \frac{d}{d k} [k]$ .

$- {(z + k e^{z})}^{- 2} (e^{z} \frac{d}{d k} [k])$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ gleich $n k^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- {(z + k e^{z})}^{- 2} (e^{z} \cdot 1)$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $e^{z}$ mit $1$ .

$- {(z + k e^{z})}^{- 2} e^{z}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(z + k e^{z})}^{2}} e^{z}$

Schritt 4.2

Kombiniere $e^{z}$ und $\frac{1}{{(z + k e^{z})}^{2}}$ .

$- \frac{e^{z}}{{(z + k e^{z})}^{2}}$