Analysis Beispiele

$- \frac{3}{4} \cdot \log_{3} (16 p^{4}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{3}{4} \cdot \log_{3} (16 p^{4}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})$ nach $p$ $\frac{d}{d p} [- \frac{3}{4} \cdot \log_{3} (16 p^{4})] + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$ .

$\frac{d}{d p} [- \frac{3}{4} \cdot \log_{3} (16 p^{4})] + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d p} [- \frac{3}{4} \cdot \log_{3} (16 p^{4})]$ .

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Schritt 2.1

Da $- \frac{3}{4}$ konstant bezüglich $p$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3}{4} \cdot \log_{3} (16 p^{4})$ nach $p$ gleich $- \frac{3}{4} \frac{d}{d p} [\log_{3} (16 p^{4})]$ .

$- \frac{3}{4} \frac{d}{d p} [\log_{3} (16 p^{4})] + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ ist $f' (g (p)) g' (p)$ , mit $f (p) = \log_{3} (p)$ und $g (p) = 16 p^{4}$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $16 p^{4}$ .

$- \frac{3}{4} (\frac{d}{d u_{1}} [\log_{3} (u_{1})] \frac{d}{d p} [16 p^{4}]) + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\log_{3} (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1} \ln (3)}$ .

$- \frac{3}{4} (\frac{1}{u_{1} \ln (3)} \frac{d}{d p} [16 p^{4}]) + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $16 p^{4}$ .

$- \frac{3}{4} (\frac{1}{16 p^{4} \ln (3)} \frac{d}{d p} [16 p^{4}]) + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Schritt 2.3

Da $16$ konstant bezüglich $p$ ist, ist die Ableitung von $16 p^{4}$ nach $p$ gleich $16 \frac{d}{d p} [p^{4}]$ .

$- \frac{3}{4} (\frac{1}{16 p^{4} \ln (3)} (16 \frac{d}{d p} [p^{4}])) + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ gleich $n p^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- \frac{3}{4} (\frac{1}{16 p^{4} \ln (3)} (16 (4 p^{3}))) + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$- \frac{3}{4} (\frac{1}{16 p^{4} \ln (3)} (64 p^{3})) + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Schritt 2.6

Kombiniere $64$ und $\frac{1}{16 p^{4} \ln (3)}$ .

$- \frac{3}{4} (\frac{64}{16 p^{4} \ln (3)} p^{3}) + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Schritt 2.7

Kombiniere $\frac{64}{16 p^{4} \ln (3)}$ und $p^{3}$ .

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{64 p^{3}}{16 p^{4} \ln (3)} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Schritt 2.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $64$ und $16$ .

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Schritt 2.8.1

Faktorisiere $16$ aus $64 p^{3}$ heraus.

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{16 (4 p^{3})}{16 p^{4} \ln (3)} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Schritt 2.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.8.2.1

Faktorisiere $16$ aus $16 p^{4} \ln (3)$ heraus.

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{16 (4 p^{3})}{16 (p^{4} \ln (3))} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Schritt 2.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{16 (4 p^{3})}{16 (p^{4} \ln (3))} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Schritt 2.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{4 p^{3}}{p^{4} \ln (3)} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Schritt 2.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $p^{3}$ und $p^{4}$ .

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Schritt 2.9.1

Faktorisiere $p^{3}$ aus $4 p^{3}$ heraus.

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{p^{3} \cdot 4}{p^{4} \ln (3)} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Schritt 2.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.9.2.1

Faktorisiere $p^{3}$ aus $p^{4} \ln (3)$ heraus.

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{p^{3} \cdot 4}{p^{3} (p \ln (3))} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Schritt 2.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{p^{3} \cdot 4}{p^{3} (p \ln (3))} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Schritt 2.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{p \ln (3)} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $\frac{4}{p \ln (3)}$ mit $\frac{3}{4}$ .

$- \frac{4 \cdot 3}{p \ln (3) \cdot 4} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$- \frac{12}{p \ln (3) \cdot 4} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Schritt 2.12

Bringe $4$ auf die linke Seite von $p \ln (3)$ .

$- \frac{12}{4 \cdot (p \ln (3))} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Schritt 2.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $4$ .

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Schritt 2.13.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$- \frac{4 \cdot 3}{4 p \ln (3)} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Schritt 2.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.13.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 p \ln (3)$ heraus.

$- \frac{4 \cdot 3}{4 (p \ln (3))} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Schritt 2.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{4 \cdot 3}{4 (p \ln (3))} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Schritt 2.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3}{p \ln (3)} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$ .

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Schritt 3.1

Da $- \frac{2}{3}$ konstant bezüglich $p$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})$ nach $p$ gleich $- \frac{2}{3} \frac{d}{d p} [\log_{3} (8 p^{3})]$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \frac{d}{d p} [\log_{3} (8 p^{3})]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ ist $f' (g (p)) g' (p)$ , mit $f (p) = \log_{3} (p)$ und $g (p) = 8 p^{3}$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $8 p^{3}$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [\log_{3} (u_{2})] \frac{d}{d p} [8 p^{3}])$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\log_{3} (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2} \ln (3)}$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} (\frac{1}{u_{2} \ln (3)} \frac{d}{d p} [8 p^{3}])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $8 p^{3}$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} (\frac{1}{8 p^{3} \ln (3)} \frac{d}{d p} [8 p^{3}])$

Schritt 3.3

Da $8$ konstant bezüglich $p$ ist, ist die Ableitung von $8 p^{3}$ nach $p$ gleich $8 \frac{d}{d p} [p^{3}]$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} (\frac{1}{8 p^{3} \ln (3)} (8 \frac{d}{d p} [p^{3}]))$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ gleich $n p^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} (\frac{1}{8 p^{3} \ln (3)} (8 (3 p^{2})))$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} (\frac{1}{8 p^{3} \ln (3)} (24 p^{2}))$

Schritt 3.6

Kombiniere $24$ und $\frac{1}{8 p^{3} \ln (3)}$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} (\frac{24}{8 p^{3} \ln (3)} p^{2})$

Schritt 3.7

Kombiniere $\frac{24}{8 p^{3} \ln (3)}$ und $p^{2}$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{24 p^{2}}{8 p^{3} \ln (3)}$

Schritt 3.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $8$ .

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Schritt 3.8.1

Faktorisiere $8$ aus $24 p^{2}$ heraus.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{8 (3 p^{2})}{8 p^{3} \ln (3)}$

Schritt 3.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.8.2.1

Faktorisiere $8$ aus $8 p^{3} \ln (3)$ heraus.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{8 (3 p^{2})}{8 (p^{3} \ln (3))}$

Schritt 3.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{8 (3 p^{2})}{8 (p^{3} \ln (3))}$

Schritt 3.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{3 p^{2}}{p^{3} \ln (3)}$

Schritt 3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $p^{2}$ und $p^{3}$ .

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Schritt 3.9.1

Faktorisiere $p^{2}$ aus $3 p^{2}$ heraus.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{p^{2} \cdot 3}{p^{3} \ln (3)}$

Schritt 3.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.9.2.1

Faktorisiere $p^{2}$ aus $p^{3} \ln (3)$ heraus.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{p^{2} \cdot 3}{p^{2} (p \ln (3))}$

Schritt 3.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{p^{2} \cdot 3}{p^{2} (p \ln (3))}$

Schritt 3.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{p \ln (3)}$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $\frac{3}{p \ln (3)}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{3 \cdot 2}{p \ln (3) \cdot 3}$

Schritt 3.11

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{6}{p \ln (3) \cdot 3}$

Schritt 3.12

Bringe $3$ auf die linke Seite von $p \ln (3)$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{6}{3 \cdot (p \ln (3))}$

Schritt 3.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 3.13.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{3 \cdot 2}{3 p \ln (3)}$

Schritt 3.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.13.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 p \ln (3)$ heraus.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{3 \cdot 2}{3 (p \ln (3))}$

Schritt 3.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{3 \cdot 2}{3 (p \ln (3))}$

Schritt 3.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{p \ln (3)}$

Schritt 4

Vereine die Terme

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Schritt 4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 3 - 2}{p \ln (3)}$

Schritt 4.2

Subtrahiere $2$ von $- 3$ .

$\frac{- 5}{p \ln (3)}$

Schritt 4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5}{p \ln (3)}$