Analysis Beispiele

$\frac{n r}{1 + (n - 1) r}$

Schritt 1

Da $r$ konstant bezüglich $n$ ist, ist die Ableitung von $\frac{n r}{1 + (n - 1) r}$ nach $n$ gleich $r \frac{d}{d n} [\frac{n}{1 + (n - 1) r}]$ .

$r \frac{d}{d n} [\frac{n}{1 + (n - 1) r}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d n} [\frac{f (n)}{g (n)}]$ gleich $\frac{g (n) \frac{d}{d n} [f (n)] - f (n) \frac{d}{d n} [g (n)]}{{g (n)}^{2}}$ ist mit $f (n) = n$ und $g (n) = 1 + (n - 1) r$ .

$r \frac{(1 + (n - 1) r) \frac{d}{d n} [n] - n \frac{d}{d n} [1 + (n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ gleich $n \cdot n^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$r \frac{(1 + (n - 1) r) \cdot 1 - n \frac{d}{d n} [1 + (n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $1 + (n - 1) r$ mit $1$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n \frac{d}{d n} [1 + (n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + (n - 1) r$ nach $n$ $\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [(n - 1) r]$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [(n - 1) r])}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Schritt 3.4

Da $1$ konstant bezüglich $n$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $n$ gleich $0$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (0 + \frac{d}{d n} [(n - 1) r])}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Schritt 3.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d n} [(n - 1) r]$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n \frac{d}{d n} [(n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Schritt 3.6

Da $r$ konstant bezüglich $n$ ist, ist die Ableitung von $(n - 1) r$ nach $n$ gleich $r \frac{d}{d n} [n - 1]$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (r \frac{d}{d n} [n - 1])}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $n - 1$ nach $n$ $\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [- 1]$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (r (\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [- 1]))}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ gleich $n \cdot n^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (r (1 + \frac{d}{d n} [- 1]))}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Schritt 3.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $n$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $n$ gleich $0$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n r (1 + 0)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Schritt 3.10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.10.1

Addiere $1$ und $0$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n r \cdot 1}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Schritt 3.10.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n r}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Schritt 3.10.3

Kombiniere $r$ und $\frac{1 + (n - 1) r - n r}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$ .

$\frac{r (1 + (n - 1) r - n r)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{r (1 + n r - 1 r - n r)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{r \cdot 1 + r (n r) + r (- 1 r) + r (- n r)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{r \cdot 1 + r (n r) + r (- 1 r) + r (- n r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $r \cdot 1 + r (n r) + r (- 1 r) + r (- n r)$ .

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Schritt 4.4.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $r (n r)$ und $r (- n r)$ neu an.

$\frac{r \cdot 1 + n r \cdot r + r (- 1 r) - n r \cdot r}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.2

Subtrahiere $n r \cdot r$ von $n r \cdot r$ .

$\frac{r \cdot 1 + r (- 1 r) + 0}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.3

Addiere $r \cdot 1 + r (- 1 r)$ und $0$ .

$\frac{r \cdot 1 + r (- 1 r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.2.1

Mutltipliziere $r$ mit $1$ .

$\frac{r + r (- 1 r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Schritt 4.4.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{r - r \cdot r}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Schritt 4.4.2.3

Multipliziere $r$ mit $r$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.4.2.3.1

Bewege $r$ .

$\frac{r - (r \cdot r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Schritt 4.4.2.3.2

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$\frac{r - r^{2}}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Schritt 4.5

Schreibe $- 1 r$ als $- r$ um.

$\frac{r - r^{2}}{{(1 + n r - r)}^{2}}$

Schritt 4.6

Stelle die Terme um.

$\frac{- r^{2} + r}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Schritt 4.7

Faktorisiere $r$ aus $- r^{2} + r$ heraus.

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Schritt 4.7.1

Faktorisiere $r$ aus $- r^{2}$ heraus.

$\frac{r (- r) + r}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Schritt 4.7.2

Potenziere $r$ mit $1$ .

$\frac{r (- r) + r^{1}}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Schritt 4.7.3

Faktorisiere $r$ aus $r^{1}$ heraus.

$\frac{r (- r) + r \cdot 1}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Schritt 4.7.4

Faktorisiere $r$ aus $r (- r) + r \cdot 1$ heraus.

$\frac{r (- r + 1)}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Schritt 4.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- r$ heraus.

$\frac{r (- (r) + 1)}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Schritt 4.9

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{r (- (r) - 1 (- 1))}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Schritt 4.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (r) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{r (- (r - 1))}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Schritt 4.11

Schreibe $- (r - 1)$ als $- 1 (r - 1)$ um.

$\frac{r (- 1 (r - 1))}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Schritt 4.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{r (r - 1)}{{(n r - r + 1)}^{2}}$