Analysis Beispiele

$\frac{n}{n + 7}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d n} [\frac{f (n)}{g (n)}]$ gleich $\frac{g (n) \frac{d}{d n} [f (n)] - f (n) \frac{d}{d n} [g (n)]}{{g (n)}^{2}}$ ist mit $f (n) = n$ und $g (n) = n + 7$ .

$\frac{(n + 7) \frac{d}{d n} [n] - n \frac{d}{d n} [n + 7]}{{(n + 7)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ gleich $n \cdot n^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(n + 7) \cdot 1 - n \frac{d}{d n} [n + 7]}{{(n + 7)}^{2}}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $n + 7$ mit $1$ .

$\frac{n + 7 - n \frac{d}{d n} [n + 7]}{{(n + 7)}^{2}}$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $n + 7$ nach $n$ $\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [7]$ .

$\frac{n + 7 - n (\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [7])}{{(n + 7)}^{2}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ gleich $n \cdot n^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{n + 7 - n (1 + \frac{d}{d n} [7])}{{(n + 7)}^{2}}$

Schritt 2.5

Da $7$ konstant bezüglich $n$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $n$ gleich $0$ .

$\frac{n + 7 - n (1 + 0)}{{(n + 7)}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{n + 7 - n \cdot 1}{{(n + 7)}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{n + 7 - n}{{(n + 7)}^{2}}$

Schritt 2.6.3

Subtrahiere $n$ von $n$ .

$\frac{0 + 7}{{(n + 7)}^{2}}$

Schritt 2.6.4

Addiere $0$ und $7$ .

$\frac{7}{{(n + 7)}^{2}}$