Analysis Beispiele

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{6}}{x - 6}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Um $\frac{1}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{1}{x} \cdot \frac{6}{6} - \frac{1}{6}}{x - 6}$

Schritt 1.2

Um $- \frac{1}{6}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{1}{x} \cdot \frac{6}{6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{x}{x}}{x - 6}$

Schritt 1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x \cdot 6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6}{x \cdot 6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{x}{x}}{x - 6}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6}{x \cdot 6} - \frac{x}{6 x}}{x - 6}$

Schritt 1.3.3

Stelle die Faktoren von $x \cdot 6$ um.

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6}{6 x} - \frac{x}{6 x}}{x - 6}$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6 - x}{6 x}}{x - 6}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

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Schritt 2.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 6} \frac{6 - x}{6 x} \cdot \frac{1}{x - 6}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $\frac{6 - x}{6 x}$ mit $\frac{1}{x - 6}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{6 - x}{6 x (x - 6)}$

Schritt 2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6 - x$ und $x - 6$ .

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Schritt 2.1.3.1

Schreibe $6$ als $- 1 (- 6)$ um.

$lim_{x \to 6} \frac{- 1 (- 6) - x}{6 x (x - 6)}$

Schritt 2.1.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$lim_{x \to 6} \frac{- 1 (- 6) - (x)}{6 x (x - 6)}$

Schritt 2.1.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 6) - (x)$ heraus.

$lim_{x \to 6} \frac{- 1 (- 6 + x)}{6 x (x - 6)}$

Schritt 2.1.3.4

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 6} \frac{- 1 (x - 6)}{6 x (x - 6)}$

Schritt 2.1.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 6} \frac{- 1 (x - 6)}{6 x (x - 6)}$

Schritt 2.1.3.6

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 6} \frac{- 1}{6 x}$

Schritt 2.2

Ziehe den Term $\frac{1}{6}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{6} lim_{x \to 6} \frac{- 1}{x}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $6$ annähert.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 6} - 1}{lim_{x \to 6} x}$

Schritt 2.4

Berechne den Grenzwert von $- 1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $6$ annähert.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 6} x}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $6$ für $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{- 1}{6}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{6} (- \frac{1}{6})$

Schritt 4.2

Multipliziere $\frac{1}{6} (- \frac{1}{6})$ .

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{6 \cdot 6}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$- \frac{1}{36}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{36}$

Dezimalform:

$- 0.02\overline{7}$