Analysis Beispiele

$\frac{\cos (q) - \sin (q)}{\cos (q)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ gleich $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ ist mit $f (q) = \cos (q) - \sin (q)$ und $g (q) = \cos (q)$ .

$\frac{\cos (q) \frac{d}{d q} [\cos (q) - \sin (q)] - (\cos (q) - \sin (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\cos (q) - \sin (q)$ nach $q$ $\frac{d}{d q} [\cos (q)] + \frac{d}{d q} [- \sin (q)]$ .

$\frac{\cos (q) (\frac{d}{d q} [\cos (q)] + \frac{d}{d q} [- \sin (q)]) - (\cos (q) - \sin (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

Schritt 3

Die Ableitung von $\cos (q)$ nach $q$ ist $- \sin (q)$ .

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) + \frac{d}{d q} [- \sin (q)]) - (\cos (q) - \sin (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $q$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (q)$ nach $q$ gleich $- \frac{d}{d q} [\sin (q)]$ .

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) - \frac{d}{d q} [\sin (q)]) - (\cos (q) - \sin (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

Schritt 5

Die Ableitung von $\sin (q)$ nach $q$ ist $\cos (q)$ .

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) - \cos (q)) - (\cos (q) - \sin (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

Schritt 6

Die Ableitung von $\cos (q)$ nach $q$ ist $- \sin (q)$ .

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) - \cos (q)) - (\cos (q) - \sin (q)) (- \sin (q))}{\cos^{2} (q)}$

Schritt 7

Multipliziere.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) - \cos (q)) + 1 (\cos (q) - \sin (q)) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $\cos (q) - \sin (q)$ mit $1$ .

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) - \cos (q)) + (\cos (q) - \sin (q)) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (q) (- \sin (q)) + \cos (q) (- \cos (q)) + (\cos (q) - \sin (q)) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Schritt 8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (q) (- \sin (q)) + \cos (q) (- \cos (q)) + \cos (q) \sin (q) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\cos (q) (- \sin (q)) + \cos (q) (- \cos (q)) + \cos (q) \sin (q) - \sin (q) \sin (q)$ .

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Schritt 8.3.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\cos (q) (- \sin (q))$ und $\cos (q) \sin (q)$ neu an.

$\frac{- \cos (q) \sin (q) + \cos (q) (- \cos (q)) + \cos (q) \sin (q) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Schritt 8.3.1.2

Addiere $- \cos (q) \sin (q)$ und $\cos (q) \sin (q)$ .

$\frac{\cos (q) (- \cos (q)) + 0 - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Schritt 8.3.1.3

Addiere $\cos (q) (- \cos (q))$ und $0$ .

$\frac{\cos (q) (- \cos (q)) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Schritt 8.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- \cos (q) \cos (q) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Schritt 8.3.2.2

Multipliziere $- \cos (q) \cos (q)$ .

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Schritt 8.3.2.2.1

Potenziere $\cos (q)$ mit $1$ .

$\frac{- (\cos^{1} (q) \cos (q)) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Schritt 8.3.2.2.2

Potenziere $\cos (q)$ mit $1$ .

$\frac{- (\cos^{1} (q) \cos^{1} (q)) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Schritt 8.3.2.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- {\cos (q)}^{1 + 1} - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Schritt 8.3.2.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- \cos^{2} (q) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Schritt 8.3.2.3

Multipliziere $- \sin (q) \sin (q)$ .

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Schritt 8.3.2.3.1

Potenziere $\sin (q)$ mit $1$ .

$\frac{- \cos^{2} (q) - (\sin^{1} (q) \sin (q))}{\cos^{2} (q)}$

Schritt 8.3.2.3.2

Potenziere $\sin (q)$ mit $1$ .

$\frac{- \cos^{2} (q) - (\sin^{1} (q) \sin^{1} (q))}{\cos^{2} (q)}$

Schritt 8.3.2.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- \cos^{2} (q) - {\sin (q)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (q)}$

Schritt 8.3.2.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- \cos^{2} (q) - \sin^{2} (q)}{\cos^{2} (q)}$

Schritt 8.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \cos^{2} (q)$ heraus.

$\frac{- (\cos^{2} (q)) - \sin^{2} (q)}{\cos^{2} (q)}$

Schritt 8.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin^{2} (q)$ heraus.

$\frac{- (\cos^{2} (q)) - (\sin^{2} (q))}{\cos^{2} (q)}$

Schritt 8.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\cos^{2} (q)) - (\sin^{2} (q))$ heraus.

$\frac{- (\cos^{2} (q) + \sin^{2} (q))}{\cos^{2} (q)}$

Schritt 8.3.6

Ordne Terme um.

$\frac{- (\sin^{2} (q) + \cos^{2} (q))}{\cos^{2} (q)}$

Schritt 8.3.7

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{- 1 \cdot 1}{\cos^{2} (q)}$

Schritt 8.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 1}{\cos^{2} (q)}$

Schritt 8.4

Vereine die Terme

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Schritt 8.4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{\cos^{2} (q)}$

Schritt 8.4.2

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (q)}$ nach $\sec^{2} (q)$ um.

$- \sec^{2} (q)$