Analysis Beispiele

$\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3}) - \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3}) - \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})$ nach $r$ $\frac{d}{d r} [\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3})] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3})] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d r} [\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3})]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Kombiniere $p$ und $\frac{4}{3}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{p \cdot 4}{3} \cdot {(r + h)}^{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{p \cdot 4}{3}$ und ${(r + h)}^{3}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{p \cdot 4 {(r + h)}^{3}}{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Schritt 2.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $p$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{4 \cdot p {(r + h)}^{3}}{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Schritt 2.4

Da $\frac{4 p}{3}$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 p {(r + h)}^{3}}{3}$ nach $r$ gleich $\frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [{(r + h)}^{3}]$ .

$\frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [{(r + h)}^{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ ist $f' (g (r)) g' (r)$ , mit $f (r) = r^{3}$ und $g (r) = r + h$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $r + h$ .

$\frac{4 p}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d r} [r + h]) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{4 p}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d r} [r + h]) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Schritt 2.5.3

Ersetze alle $u$ durch $r + h$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} \frac{d}{d r} [r + h]) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Schritt 2.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $r + h$ nach $r$ $\frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [h]$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} (\frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [h])) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} (1 + \frac{d}{d r} [h])) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Schritt 2.8

Da $h$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $h$ bezüglich $r$ gleich $0$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Schritt 2.9

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2}) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Schritt 2.11

Kombiniere $3$ und $\frac{4 p}{3}$ .

$\frac{3 (4 p)}{3} {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Schritt 2.12

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{12 p}{3} {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Schritt 2.13

Kombiniere $\frac{12 p}{3}$ und ${(r + h)}^{2}$ .

$\frac{12 p {(r + h)}^{2}}{3} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Schritt 2.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.14.1

Faktorisiere $3$ aus $12 p {(r + h)}^{2}$ heraus.

$\frac{3 (4 p {(r + h)}^{2})}{3} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Schritt 2.14.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.14.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (4 p {(r + h)}^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Schritt 2.14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (4 p {(r + h)}^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Schritt 2.14.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 p {(r + h)}^{2}}{1} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Schritt 2.14.2.4

Dividiere $4 p {(r + h)}^{2}$ durch $1$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Kombiniere $p$ und $\frac{4}{3}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{p \cdot 4}{3} \cdot r^{3}]$

Schritt 3.2

Kombiniere $r^{3}$ und $\frac{p \cdot 4}{3}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{r^{3} (p \cdot 4)}{3}]$

Schritt 3.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $p$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{r^{3} (4 \cdot p)}{3}]$

Schritt 3.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $r^{3}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4 \cdot r^{3} p}{3}]$

Schritt 3.5

Da $- \frac{4 p}{3}$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4 r^{3} p}{3}$ nach $r$ gleich $- \frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [r^{3}]$ .

$4 p {(r + h)}^{2} - \frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [r^{3}]$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 p {(r + h)}^{2} - \frac{4 p}{3} (3 r^{2})$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$4 p {(r + h)}^{2} - 3 \frac{4 p}{3} r^{2}$

Schritt 3.8

Kombiniere $- 3$ und $\frac{4 p}{3}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 3 (4 p)}{3} r^{2}$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 12 p}{3} r^{2}$

Schritt 3.10

Kombiniere $\frac{- 12 p}{3}$ und $r^{2}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 12 p r^{2}}{3}$

Schritt 3.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.11.1

Faktorisiere $3$ aus $- 12 p r^{2}$ heraus.

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{3 (- 4 p r^{2})}{3}$

Schritt 3.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.11.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{3 (- 4 p r^{2})}{3 (1)}$

Schritt 3.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{3 (- 4 p r^{2})}{3 \cdot 1}$

Schritt 3.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 4 p r^{2}}{1}$

Schritt 3.11.2.4

Dividiere $- 4 p r^{2}$ durch $1$ .

$4 p {(r + h)}^{2} - 4 p r^{2}$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Stelle die Terme um.

$4 p {(r + h)}^{2} - 4 r^{2} p$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Schreibe ${(r + h)}^{2}$ als $(r + h) (r + h)$ um.

$4 p ((r + h) (r + h)) - 4 r^{2} p$

Schritt 4.2.2

Multipliziere $(r + h) (r + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 p (r (r + h) + h (r + h)) - 4 r^{2} p$

Schritt 4.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 p (r \cdot r + r h + h (r + h)) - 4 r^{2} p$

Schritt 4.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 p (r \cdot r + r h + h r + h \cdot h) - 4 r^{2} p$

Schritt 4.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1.1

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$4 p (r^{2} + r h + h r + h \cdot h) - 4 r^{2} p$

Schritt 4.2.3.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$4 p (r^{2} + r h + h r + h^{2}) - 4 r^{2} p$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $r h$ und $h r$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.2.1

Stelle $r$ und $h$ um.

$4 p (r^{2} + h r + h r + h^{2}) - 4 r^{2} p$

Schritt 4.2.3.2.2

Addiere $h r$ und $h r$ .

$4 p (r^{2} + 2 h r + h^{2}) - 4 r^{2} p$

Schritt 4.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$4 p r^{2} + 4 p (2 h r) + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$

Schritt 4.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$4 p r^{2} + 8 p h r + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$

Schritt 4.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 p r^{2} + 8 p h r + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Ordne die Faktoren in den Termen $4 p r^{2}$ und $- 4 r^{2} p$ neu an.

$4 r^{2} p + 8 p h r + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $4 r^{2} p$ von $4 r^{2} p$ .

$8 p h r + 4 p h^{2} + 0$

Schritt 4.3.3

Addiere $8 p h r + 4 p h^{2}$ und $0$ .

$8 p h r + 4 p h^{2}$