Analysis Beispiele

$- \frac{A}{r^{2}} + \frac{B}{r^{3}}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{A}{r^{2}} + \frac{B}{r^{3}}$ nach $r$ $\frac{d}{d r} [- \frac{A}{r^{2}}] + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$ .

$\frac{d}{d r} [- \frac{A}{r^{2}}] + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d r} [- \frac{A}{r^{2}}]$ .

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Schritt 2.1

Da $- A$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{A}{r^{2}}$ nach $r$ gleich $- A \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{2}}]$ .

$- A \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{2}}] + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{1}{r^{2}}$ als ${(r^{2})}^{- 1}$ um.

$- A \frac{d}{d r} [{(r^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ ist $f' (g (r)) g' (r)$ , mit $f (r) = r^{- 1}$ und $g (r) = r^{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $r^{2}$ .

$- A (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d r} [r^{2}]) + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- A (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d r} [r^{2}]) + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $r^{2}$ .

$- A (- {(r^{2})}^{- 2} \frac{d}{d r} [r^{2}]) + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- A (- {(r^{2})}^{- 2} (2 r)) + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Schritt 2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(r^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- A (- r^{2 \cdot - 2} (2 r)) + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- A (- r^{- 4} (2 r)) + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- A (- 2 r^{- 4} r) + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Schritt 2.7

Potenziere $r$ mit $1$ .

$- A (- 2 (r^{1} r^{- 4})) + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Schritt 2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- A (- 2 r^{1 - 4}) + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Schritt 2.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$- A (- 2 r^{- 3}) + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$2 A r^{- 3} + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$ .

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Schritt 3.1

Da $B$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $\frac{B}{r^{3}}$ nach $r$ gleich $B \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{3}}]$ .

$2 A r^{- 3} + B \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{3}}]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{1}{r^{3}}$ als ${(r^{3})}^{- 1}$ um.

$2 A r^{- 3} + B \frac{d}{d r} [{(r^{3})}^{- 1}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ ist $f' (g (r)) g' (r)$ , mit $f (r) = r^{- 1}$ und $g (r) = r^{3}$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $r^{3}$ .

$2 A r^{- 3} + B (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d r} [r^{3}])$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$2 A r^{- 3} + B (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d r} [r^{3}])$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $r^{3}$ .

$2 A r^{- 3} + B (- {(r^{3})}^{- 2} \frac{d}{d r} [r^{3}])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 A r^{- 3} + B (- {(r^{3})}^{- 2} (3 r^{2}))$

Schritt 3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(r^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 A r^{- 3} + B (- r^{3 \cdot - 2} (3 r^{2}))$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$2 A r^{- 3} + B (- r^{- 6} (3 r^{2}))$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$2 A r^{- 3} + B (- 3 r^{- 6} r^{2})$

Schritt 3.7

Multipliziere $r^{- 6}$ mit $r^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.7.1

Bewege $r^{2}$ .

$2 A r^{- 3} + B (- 3 (r^{2} r^{- 6}))$

Schritt 3.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 A r^{- 3} + B (- 3 r^{2 - 6})$

Schritt 3.7.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$2 A r^{- 3} + B (- 3 r^{- 4})$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 A \frac{1}{r^{3}} + B (- 3 r^{- 4})$

Schritt 4.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 A \frac{1}{r^{3}} + B (- 3 \frac{1}{r^{4}})$

Schritt 4.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{r^{3}}$ .

$A \frac{2}{r^{3}} + B (- 3 \frac{1}{r^{4}})$

Schritt 4.3.2

Kombiniere $A$ und $\frac{2}{r^{3}}$ .

$\frac{A \cdot 2}{r^{3}} + B (- 3 \frac{1}{r^{4}})$

Schritt 4.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $A$ .

$\frac{2 \cdot A}{r^{3}} + B (- 3 \frac{1}{r^{4}})$

Schritt 4.3.4

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{r^{4}}$ .

$\frac{2 A}{r^{3}} + B \frac{- 3}{r^{4}}$

Schritt 4.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2 A}{r^{3}} + B (- \frac{3}{r^{4}})$

Schritt 4.3.6

Kombiniere $B$ und $\frac{3}{r^{4}}$ .

$\frac{2 A}{r^{3}} - \frac{B \cdot 3}{r^{4}}$

Schritt 4.3.7

Bringe $3$ auf die linke Seite von $B$ .

$\frac{2 A}{r^{3}} - \frac{3 B}{r^{4}}$