Analysis Beispiele

$\frac{Gm M}{r^{2}}$

Schritt 1

Da $Gm M$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $\frac{Gm M}{r^{2}}$ nach $r$ gleich $Gm M \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{2}}]$ .

$Gm M \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{2}}]$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Schreibe $\frac{1}{r^{2}}$ als ${(r^{2})}^{- 1}$ um.

$Gm M \frac{d}{d r} [{(r^{2})}^{- 1}]$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(r^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$Gm M \frac{d}{d r} [r^{2 \cdot - 1}]$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$Gm M \frac{d}{d r} [r^{- 2}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$Gm M (- 2 r^{- 3})$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$Gm M (- 2 \frac{1}{r^{3}})$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{r^{3}}$ .

$Gm M \frac{- 2}{r^{3}}$

Schritt 4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$Gm M (- \frac{2}{r^{3}})$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $Gm$ und $\frac{2}{r^{3}}$ .

$M (- (\frac{2}{r^{3}} Gm))$

Schritt 4.2.4

Kombiniere $M$ und $\frac{2}{r^{3}}$ .

$- (\frac{M \cdot 2}{r^{3}} Gm)$

Schritt 4.2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $M$ .

$- \frac{2 M}{r^{3}} Gm$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $- \frac{2 M}{r^{3}} Gm$ um.

$- Gm \frac{2 M}{r^{3}}$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Kombiniere $- Gm$ und $\frac{2 M}{r^{3}}$ .

$\frac{- (2 M)}{r^{3}} Gm$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 2 M}{r^{3}} Gm$

Schritt 4.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 M}{r^{3}} Gm$