Analysis Beispiele

$y = (r^{2} - 2 r) e^{r}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ gleich $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ ist mit $f (r) = r^{2} - 2 r$ und $g (r) = e^{r}$ .

$(r^{2} - 2 r) \frac{d}{d r} [e^{r}] + e^{r} \frac{d}{d r} [r^{2} - 2 r]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [a^{r}]$ gleich $a^{r} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$(r^{2} - 2 r) e^{r} + e^{r} \frac{d}{d r} [r^{2} - 2 r]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $r^{2} - 2 r$ nach $r$ $\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 2 r]$ .

$(r^{2} - 2 r) e^{r} + e^{r} (\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 2 r])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(r^{2} - 2 r) e^{r} + e^{r} (2 r + \frac{d}{d r} [- 2 r])$

Schritt 3.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $- 2 r$ nach $r$ gleich $- 2 \frac{d}{d r} [r]$ .

$(r^{2} - 2 r) e^{r} + e^{r} (2 r - 2 \frac{d}{d r} [r])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(r^{2} - 2 r) e^{r} + e^{r} (2 r - 2 \cdot 1)$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$(r^{2} - 2 r) e^{r} + e^{r} (2 r - 2)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$r^{2} e^{r} - 2 r e^{r} + e^{r} (2 r - 2)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$r^{2} e^{r} - 2 r e^{r} + e^{r} (2 r) + e^{r} \cdot - 2$

Schritt 4.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.3.1

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $e^{r}$ .

$r^{2} e^{r} - 2 r e^{r} + e^{r} (2 r) - 2 \cdot e^{r}$

Schritt 4.3.2

Addiere $- 2 r e^{r}$ und $e^{r} (2 r)$ .

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Schritt 4.3.2.1

Bewege $e^{r}$ .

$r^{2} e^{r} - 2 r e^{r} + 2 r e^{r} - 2 e^{r}$

Schritt 4.3.2.2

Addiere $- 2 r e^{r}$ und $2 r e^{r}$ .

$r^{2} e^{r} + 0 - 2 e^{r}$

Schritt 4.3.3

Addiere $r^{2} e^{r}$ und $0$ .

$r^{2} e^{r} - 2 e^{r}$

Schritt 4.4

Stelle die Terme um.

$e^{r} r^{2} - 2 e^{r}$

Schritt 4.5

Stelle die Faktoren in $e^{r} r^{2} - 2 e^{r}$ um.

$r^{2} e^{r} - 2 e^{r}$