Analysis Beispiele

$g (r) = (8 r^{3} + 7 r + 4) (r^{2} + 3)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ gleich $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ ist mit $f (r) = 8 r^{3} + 7 r + 4$ und $g (r) = r^{2} + 3$ .

$(8 r^{3} + 7 r + 4) \frac{d}{d r} [r^{2} + 3] + (r^{2} + 3) \frac{d}{d r} [8 r^{3} + 7 r + 4]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $r^{2} + 3$ nach $r$ $\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [3]$ .

$(8 r^{3} + 7 r + 4) (\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [3]) + (r^{2} + 3) \frac{d}{d r} [8 r^{3} + 7 r + 4]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(8 r^{3} + 7 r + 4) (2 r + \frac{d}{d r} [3]) + (r^{2} + 3) \frac{d}{d r} [8 r^{3} + 7 r + 4]$

Schritt 2.3

Da $3$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $r$ gleich $0$ .

$(8 r^{3} + 7 r + 4) (2 r + 0) + (r^{2} + 3) \frac{d}{d r} [8 r^{3} + 7 r + 4]$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Addiere $2 r$ und $0$ .

$(8 r^{3} + 7 r + 4) (2 r) + (r^{2} + 3) \frac{d}{d r} [8 r^{3} + 7 r + 4]$

Schritt 2.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $8 r^{3} + 7 r + 4$ .

$2 \cdot (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) \frac{d}{d r} [8 r^{3} + 7 r + 4]$

Schritt 2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 r^{3} + 7 r + 4$ nach $r$ $\frac{d}{d r} [8 r^{3}] + \frac{d}{d r} [7 r] + \frac{d}{d r} [4]$ .

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (\frac{d}{d r} [8 r^{3}] + \frac{d}{d r} [7 r] + \frac{d}{d r} [4])$

Schritt 2.6

Da $8$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $8 r^{3}$ nach $r$ gleich $8 \frac{d}{d r} [r^{3}]$ .

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (8 \frac{d}{d r} [r^{3}] + \frac{d}{d r} [7 r] + \frac{d}{d r} [4])$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (8 (3 r^{2}) + \frac{d}{d r} [7 r] + \frac{d}{d r} [4])$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (24 r^{2} + \frac{d}{d r} [7 r] + \frac{d}{d r} [4])$

Schritt 2.9

Da $7$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $7 r$ nach $r$ gleich $7 \frac{d}{d r} [r]$ .

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (24 r^{2} + 7 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [4])$

Schritt 2.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (24 r^{2} + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [4])$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (24 r^{2} + 7 + \frac{d}{d r} [4])$

Schritt 2.12

Da $4$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $r$ gleich $0$ .

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (24 r^{2} + 7 + 0)$

Schritt 2.13

Addiere $24 r^{2} + 7$ und $0$ .

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (24 r^{2} + 7)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1